Olivia a décidé d'installer sur le sol, plat de son jardin, quatre panneaux photovoltaïques pour produire une partie de l'électricité qu'elle consomme.
Description
Un panneau photovoltaïque est un dispositif permettant de générer de l'électricité à partir de l'énergie lumineuse.
Caractéristiques d'un panneau
- Longueur : 1 700 mm
- Largeur : 1 000 mm
- Épaisseur : 40 mm
- Fonctionnement optimal : inclinaison par rapport à l'horizontale comprise entre 30° et 35°
- Orientation : sud
Pour incliner ses panneaux et obtenir un fonctionnement optimal, Olivia choisit de fabriquer elle-même un support.
Pour cela, elle réalise les schémas suivants du support qui sera constitué de trois équerres identiques, reliées entre elles par trois barres latérales de 4 m de long.
Chaque support est prévu pour accueillir quatre panneaux.
Quelle est la distance HS, arrondie au millimètre ?
Le triangle HPS est rectangle en P.
D'après le théorème de Pythagore, on peut écrire :
HS^2=HP^2+PS^2
On en déduit :
HS^2=90^2+140^2
Puis :
HS^2=8\ 100+19\ 600=27\ 700
Et finalement :
HS=\sqrt{27\ 700}
En arrondissant au millimètre, on a :
166,4 cm
La longueur HS, arrondie au millimètre, mesure 166,4 cm.
Pour que le panneau soit bien tenu, le fabricant conseille que la distance HS du support mesure au moins 95 % de la longueur du panneau.
On rappelle que cette longueur mesure 1 700 mm.
Ce support sera-t-il conforme aux conseils du fabricant ?
La longueur du panneau mesure 1 700 mm, c'est-à-dire 170 cm.
La longueur HS mesure environ 166,4 cm.
On veut vérifier que 166,4 cm représente au moins 95 % de 170.
On calcule 95 % de 170 :
\dfrac{95}{100}\times170=0{,}95\times170=161{,}5.
On remarque que 166,4 est supérieur à 161,5.
On en conclut donc que 166,4 représente bien au moins 95 % de 170.
Par conséquent, le support est conforme.
Oui, le support est conforme aux conseils du fabricant.
L'angle d'inclinaison \widehat{HSP} permettra-t-il un fonctionnement optimal des panneaux ?
On va calculer la mesure de l'angle \widehat{HSP}.
Le triangle HSP est rectangle en P.
On connaît :
- SP, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{HSP} ;
- HP, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{HSP}
On peut donc calculer la tangente de l'angle \widehat{HSP}.
On a :
\text{tan}\left( \widehat{HSP} \right)=\dfrac{HP}{SP}
On en déduit :
\text{tan}\left( \widehat{HSP} \right)=\dfrac{90}{140}
Et en utilisant la touche « arctan » de la calculatrice, on obtient :
\widehat{HSP}\approx32{,}7°
On remarque que :
30° \lt 32{,}7° \lt 35°
Par conséquent, la mesure de l'angle \widehat{HSP} permet bien un fonctionnement optimal.
Oui, l'angle d'inclinaison \widehat{HSP} permettra un fonctionnement optimal des panneaux.
Pour consolider l'ensemble, Olivia fixe, à l'intérieur de ses équerres, une barre de renfort de 50 cm de longueur.
Sur le plan détaillé d'une équerre, cette barre est représentée par le segment [UT] perpendiculaire au segment [PS].
Quelle est la longueur ST, arrondie au millimètre ?
On sait que :
- Les droites (HP) et (PS) sont perpendiculaires.
- Les droites (UT) et (PS) sont perpendiculaires.
Or, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
On peut donc en déduire que les droites (HP) et (UT) sont parallèles.
Par ailleurs :
- les points S, T et P sont alignés ;
- les points S, U et H sont alignés.
D'après le théorème de Thalès, on peut écrire :
\dfrac{SU}{SH}=\dfrac{ST}{SP}=\dfrac{UT}{HP}
En particulier :
\dfrac{ST}{SP}=\dfrac{UT}{HP}
Or, on sait que SP = 140 \text{ cm}, que UT = 50 \text{ cm} et que HP = 90 \text{ cm}.
Par conséquent, on obtient :
\dfrac{ST}{140}=\dfrac{50}{90}
On effectue un produit en croix :
ST=\dfrac{140\times50}{90}
Et on obtient finalement, en arrondissant au millimètre près, 77,8 cm.
La longueur ST, arrondie au millimètre, est de 77,8 cm.
Olivia, achète des tubes en acier inoxydable de longueur 4,5 m à 37 € l'unité pour fabriquer le support composé de trois équerres et des trois barres latérales.
Quel budget minimum doit prévoir Olivia pour l'achat des tubes en acier inoxydable ?
Chaque équerre nécessite une longueur de tube égale à :
SP + PH + HS
ce qui est environ égal, en cm, à :
140 + 90 + 166{,}4 = 396{,}4
Ainsi, la longueur de tube nécessaire pour une équerre est d'environ 396{,}4 \text{ cm} = 3{,}964 \text{ m}.
Par conséquent, la longueur de tube nécessaire pour trois équerres est de :
3 \times 3{,}964 = 11{,}892 \text{ m}
On ajoute ensuite la longueur de tube nécessaire pour les trois barres de renfort, à savoir :
3 \times TU = 3 \times 50 = 150 \text{ cm} = 1{,}5 \text{ m}
Et on ajoute également la longueur de tube nécessaire pour les trois barres latérales, à savoir :
3 \times 4 = 12 \text{ m}
Ainsi, au total, la longueur de tube qu'Olivia doit prévoir est de :
11{,}892 + 1{,}5 + 12 = 25{,}392 \text{ m}
Or, un tube mesure 4,5 m.
Et on a :
\dfrac{25{,}392}{4{,}5}\approx5{,}6
On en déduit donc que 6 tubes sont nécessaires.
Sachant qu'un tube coûte 37 € l'unité, le coût total à prévoir sera, en euros, de :
6 \times 37 = 222
Le budget minimum que doit prévoir Olivia pour l'achat des tubes en acier inoxydable est de 222 €.