Sur la figure ci-dessous, on a :
- C est un cercle de centre O et de rayon 4,5 cm ;
- [AB] est un diamètre de ce cercle et D est un point du cercle ;
- les points B, E, A sont alignés, ainsi que les points D, F, A ;
- les droites (BD) et (EF) sont parallèles ;
- BD = 5{,}4 \text{ cm} ; DA = 7{,}2 \text{ cm} et AE = 2{,}7 \text{ cm}.
Combien mesure le diamètre AB ?
On sait que le rayon du cercle mesure 4,5 cm.
Or, le diamètre d'un cercle mesure le double du rayon de ce même cercle.
Par conséquent, le diamètre du cercle mesure :
2 \times 4{,}5 \text{ cm} = 9 \text{ cm}
Le diamètre AB mesure 9 cm.
Le triangle ABD est-il rectangle ?
Dans le triangle ABD, on sait que :
- BD = 5{,}4 \text{ cm} ;
- DA = 7{,}2 \text{ cm} ;
- BA = 9 \text{ cm}.
Le côté le plus long est [BA].
D'une part :
BA^2=9^2=81
D'autre part :
BD^2+DA^2=5{,}4^2+7{,}2^2=29{,}16+51{,}84=81
On remarque que :
BA^2=BD^2+DA^2
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en conclut que le triangle ABD est rectangle en D.
Oui, le triangle ABD est rectangle.
Combien mesure AF ?
On sait que :
- Les points B, E et A sont alignés.
- Les points D, F et A.
- Les droites (BD) et (EF) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on peut écrire :
\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{FE}{DB}
En particulier :
\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AE}{AB}
Or, on sait que AD = 7{,}2 \text{ cm}, que AE = 2{,}7 \text{ cm} et que AB = 9 \text{ cm}.
Par conséquent :
\dfrac{AF}{7{,}2}=\dfrac{2{,}7}{9}
En effectuant un produit en croix, on obtient :
AF=\dfrac{7{,}2\times2{,}7}{9}
Et finalement :
AF = 2{,}16 \text{ cm}
AF mesure 2,16 cm.
Combien mesure l'aire du triangle ABD ?
Le triangle ABD est rectangle en D.
On sait que BD = 5{,}4 \text{ cm} et que DA = 7{,}2 \text{ cm}.
L'aire du triangle ABD se calcule ainsi :
\dfrac{BD\times{DA}}{2}=\dfrac{5{,}4\times{7{,}2}}{2}
On obtient : 19,44 cm².
L'aire du triangle ABD mesure 19,44 cm².
Quelle est l'aire du disque, arrondie au centième ?
Le disque a un rayon de 4,5 cm.
Son aire se calcule ainsi :
\pi\times R^2=\pi\times4{,}5^2=20{,}25\times{\pi}
En arrondissant au centième, on obtient 63,62 cm².
L'aire du disque, arrondie au centième, est égale à 63,62 cm².
Quel pourcentage de l'aire du disque représente l'aire du triangle ABD ?
L'aire du triangle ABD est environ égale à 19,44 cm².
L'aire du disque est environ égale à 63,62 cm².
Donc la proportion de l'aire du disque que représente l'aire du triangle ABD est environ égale à :
\dfrac{19{,}44}{63{,}62}
En arrondissant au millième, on obtient 0,306.
On termine en exprimant le résultat sous la forme d'un pourcentage :
0{,}306=\dfrac{30{,}6}{100} = 30{,}6\text{ \%}
L'aire du triangle ABD représente environ 30,6 % de l'aire du disque.