La construction du Centre aquatique olympique de Saint-Denis a débuté en 2021 pour accueillir les épreuves de natation artistique des Jeux olympiques de Paris 2024.
Alyssa et Jules visitent le Centre aquatique olympique et s'installent dans les gradins.
On a schématisé leurs positions par rapport à la piscine olympique sur la figure suivante, qui modélise la situation :
Alyssa est installée dans les gradins Nord au point A et Jules est assis dans les gradins Sud au point J.
On donne :
- AC = FJ = 15 \text{ m} ;
- BC = 27 \text{ m} ;
- FH = 7 \text{ m} ;
- EF = 18 \text{ m}.
- Les points F, J et D sont alignés.
- Les points F, H, et E sont alignés.
- Les points C, B, D, E sont alignés.
Jules et Alyssa discutent entre eux pour savoir qui est le mieux placé pour assister à l'événement.
Quelle est la distance entre Alyssa et le bord de la piscine, c'est-à-dire la longueur AB, arrondie au mètre près ?
On sait que le triangle ABC est rectangle en C.
D'après le théorème de Pythagore, on peut écrire :
AB^2=AC^2+CB^2
On sait que AC = 15 \text{ m} et que BC = 27 \text{ m}.
Par conséquent, on obtient :
AB^2=15^2+27^2
Ce qui donne :
AB^2=225+729=954
On en déduit que :
AB=\sqrt{954}
En arrondissant au mètre près, on obtient finalement 31 m.
La distance entre Alyssa et le bord de la piscine, c'est-à-dire la longueur AB, arrondie au mètre près, est de 31 m.
Quelle est la distance entre Jules et le bord de la piscine, c'est-à-dire la longueur JD, arrondie au mètre près ?
On sait que :
- Les points F, J et D sont alignés.
- Les points F, H, et E sont alignés.
De plus, on sait que :
- Les droites (JH) et (EF) sont perpendiculaires.
- Les droites (DE) et (EF) sont perpendiculaires.
Or, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
On en déduit que les droites (JH) et (DE) sont parallèles.
On peut alors appliquer le théorème de Thalès :
\dfrac{FJ}{FD}=\dfrac{FH}{FE}=\dfrac{JH}{DE}
En particulier :
\dfrac{FJ}{FD}=\dfrac{FH}{FE}
Or, on sait que FJ = 15 \text{ m}, que FH = 7 \text{ m} et FE = 18 \text{ m}.
On obtient alors :
\dfrac{15}{FD}=\dfrac{7}{18}
En effectuant un produit en croix, on obtient :
FD=\dfrac{15\times18}{7} = \dfrac{270}{7}
Comme le point J appartient au segment [DF], on en déduit que :
JD = FD - FJ
Ce qui donne :
JD = \dfrac{270}{7}-15
Et finalement, en arrondissant au mètre près, on obtient :
JD\approx24 \text{ m}
La distance entre Jules et le bord de la piscine, c'est-à-dire la longueur JD, arrondie au mètre près, est de 24 m.
Lequel des deux amis est le plus proche d'un bord de la piscine ?
On sait que :
- La distance entre Alyssa et le bord de la piscine, c'est-à-dire la longueur AB, arrondie au mètre près, est de 31 m.
- La distance entre Jules et le bord de la piscine, c'est-à-dire la longueur JD, arrondie au mètre près, est de 24 m.
Or, 24 est inférieur à 31.
C'est donc Jules qui est le plus proche du bord de la piscine.
C'est Jules qui est le plus proche du bord de la piscine.
Pour respecter les normes de sécurité, l'angle d'inclinaison \widehat{ABC} des gradins Nord ne doit pas dépasser 35°.
Les gradins Nord respectent-ils cette norme ?
On sait que le triangle ABC est rectangle en C.
On connaît :
- AC = 15 \text{ m}, la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{ABC} ;
-
BC = 27 \text{ m}, la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat{ABC}.
On peut donc calculer la tangente de l'angle \widehat{ABC}.
On obtient :
\text{tan}\left( \widehat{ABC} \right)=\dfrac{AC}{BC}
Puis :
\text{tan}\left( \widehat{ABC} \right)=\dfrac{15}{27}
En utilisant la touche « arctan » de la calculatrice et en arrondissant au degré près, on obtient :
\widehat{ABC}\approx29°
On remarque que 29 est inférieur à 35.
Par conséquent, l'angle d'inclinaison respecte la norme.
Oui, les gradins Nord respectent cette norme.
Le toit du Centre aquatique olympique a une surface de 5 000 m².
On estime que 4 678,4 m² de ce toit sont recouverts de panneaux photovoltaïques.
Voici les caractéristiques d'un panneau photovoltaïque standard fournies par le constructeur :
Quelle est la quantité annuelle d'énergie produite par l'ensemble des panneaux photovoltaïques du toit du Centre aquatique olympique ?
Un panneau est un rectangle de longueur 1,7 m et de largeur 1 m.
Donc l'aire d'un panneau est égale, en m², à :
1{,}7 \times 1 = 1{,}7
On sait que 4 678,4 m² de ce toit est recouvert de panneaux photovoltaïques.
On peut donc calculer le nombre de panneaux. Ce dernier est égal à :
\dfrac{4\ 678{,}4}{1{,}7}=2\ 752
Sachant qu'un panneau produit environ 350 kWh par an, on en déduit que l'énergie produite en un an par 2 752 panneaux sera égale à :
2\ 752 \times 350 \text{ kWh} = 963\ 200 \text{ kWh}
La quantité annuelle d'énergie produite par l'ensemble des panneaux photovoltaïques du toit du Centre aquatique olympique est de 963 200 kWh.
La température réglementaire de l'eau contenue dans la piscine lors des Jeux olympiques doit être comprise entre 25° et 28°.
Pour respecter cette réglementation, on souhaite que l'eau contenue dans la piscine olympique de Saint-Denis soit à une température de 26°.
On admet que l'eau contenue dans cette piscine occupe un pavé droit dont les dimensions sont :
- Longueur : 50 m
- Largeur : 25 m
- Profondeur : 3 m
On suppose qu'avant la première mise en chauffe de la piscine olympique, l'eau est à 18°.
On estime qu'il faut environ 9,3 kWh pour chauffer 1 m³ d'eau de 18° jusqu'à 26°.
Quelle quantité d'énergie, en kWh, sera nécessaire pour chauffer toute l'eau de la piscine olympique jusqu'à 26° ?
La piscine est représentée par un pavé droit de dimensions 50 m, 25m et 3 m.
On calcule le volume d'eau dans la piscine de la manière suivante :
50 \text{ m} \times 25 \text{ m} \times 3 \text{ m}
On obtient 3 750 m³.
Or, il faut environ 9,3 kWh pour chauffer 1 m³ d'eau.
On en déduit l'énergie nécessaire pour chauffer 3 750 m³, en kWh :
3\ 750 \times 9{,}3 = 34\ 875
La quantité d'énergie qui sera nécessaire pour chauffer toute l'eau de la piscine olympique jusqu'à 26° est de 34 875 kWh.