Avant de commercialiser une nouvelle boîte de pâtes, le service marketing doit choisir entre :
- Deux tailles : Mini et Large
- Deux couleurs de packaging : Rouge ou Vert
Selon le responsable du magasin :
- 22% du service est pour la taille Mini.
- 15% du service marketing étant pour la taille Mini n'est pas pour la couleur Rouge.
- 33% du service marketing étant pour la taille Large est aussi pour le Rouge.
Soient les événements suivants :
M : "Le service marketing choisit la taille Mini"
L : "Le service marketing choisit la taille Large"
R : "Le service marketing choisit le Rouge"
Présenter les données de l'énoncé sur un arbre pondéré.
D'après l'énoncé, on sait que :
- p\left(M\right)=0{,}22
- p_{M}\left(\overline{R}\right)=0{,}15
- p_{L}\left(R\right)=0{,}33
On peut donc construire l'arbre pondéré représentant la situation :
Quelle est la probabilité que le service opte pour le paquet de taille Mini et de couleur Rouge ?
On cherche p\left( M\cap R \right).
Or, on sait que :
p\left( M\cap R \right)=p\left( M \right)\times p_{M}\left(R \right)
D'après l'arbre pondéré, on a :
- p\left( M \right)=0{,}22
- p_{M}\left(R \right)=0{,}85
D'où finalement :
p\left( M\cap R \right)=0{,}22\times0{,}85=0{,}187
La probabilité que le paquet soit en taille Mini et de couleur Rouge est égale à 0,187.
Quelle est la probabilité que le choix se porte sur le rouge ?
On cherche p\left(R\right).
Les événements M et L forment une partition de l'univers. Donc d'après la formule des probabilités totales, on a :
p\left(R\right)=p\left(R \cap M\right)+p\left(R \cap L\right)
p\left(R\right)=p\left(M\right)\times p_{ M}\left(R\right)+p\left(L\right)\times p_{ L}\left(R\right)
Et, d'après les données de l'arbre pondéré :
p\left(R\right)=0{,}22\times0{,}85+0{,}78\times0{,}33
p\left(R\right)=0{,}187+0{,}2\ 574
p\left(R\right)=0{,}4\ 444
La probabilité que le paquet soit rouge est égale à 0,4444.
Le paquet choisi est rouge, quelle est la probabilité qu'il soit en taille Mini ?
On cherche p_R\left( M \right).
Or on a :
p_R\left( M \right)=\dfrac{p\left( R\cap M \right)}{p\left(R\right)}
Et, d'après les résultats des questions précédentes :
p_R\left(M \right)=\dfrac{0{,}187}{0{,}4\ 444}\approx0{,}421
Sachant que le paquet est rouge, la probabilité qu'il soit en taille Mini est d'environ 0,421.