Dans un vol de nuit, les passagers sont servis :
- Ils prennent une boisson sans alcool ou du vin
- Ils mangent leur repas ou vont directement dormir
Le chef de cabine affirme que
- 60% des passagers optent pour une boisson sans alcool.
- 41% des passagers prenant une boisson sans alcool ne prennent pas leur repas.
- 70% des passagers prenant du vin prennent également leur repas.
Soient les événements suivants :
B : "Le passager choisit une boisson sans alcool."
V : "Le passager choisit du vin."
R : "Le passager mange son repas."
Présenter les données de l'énoncé sur un arbre pondéré.
D'après l'énoncé, on sait que :
- p\left(B\right)=0{,}6
- p_{B}\left(\overline{R}\right)=0{,}41
- p_{V}\left(R\right)=0{,}7
On peut donc construire l'arbre pondéré représentant la situation :
Quelle est la probabilité qu'un passager prenne une boisson sans alcool et mange son repas ?
On cherche p\left( B\cap R \right).
Or, on sait que :
p\left( B\cap R \right)=p\left( B \right)\times p_{B}\left(R \right)
D'après l'arbre pondéré, on a :
- p\left( B \right)=0{,}6
- p_{B}\left(R \right)=0{,}59
D'où finalement :
p\left( B\cap R \right)=0{,}6\times0{,}59=0{,}354
La probabilité qu'un passager prenne une boisson sans alcool et mange son repas est égale à 0,354.
Quelle est la probabilité qu'un passager mange son repas ?
On cherche p\left(R\right).
Les événements B et V forment une partition de l'univers. Donc d'après la formule des probabilités totales, on a :
p\left(R\right)=p\left(R\cap B\right)+p\left(R \cap V\right)
p\left(R\right)=p\left(B\right)\times p_{ B}\left(R \right)+p\left(V\right)\times p_{ V}\left(R \right)
Et, d'après les données de l'arbre pondéré :
p\left(R\right)=0{,}6\times0{,}59+0{,}4\times0{,}7
p\left(R\right)=0{,}634
La probabilité qu'un passager mange son repas est égale à 0,634.
Le passager mange son repas, quelle est la probabilité qu'il ait pris une boisson sans alcool ?
On cherche p_R\left( B\right).
Or on a :
p_R\left( B \right)=\dfrac{p\left( R\cap B \right)}{p\left(R\right)}
Et, d'après les résultats des questions précédentes :
p_R\left( B \right)=\dfrac{0{,}354}{0{,}634}\approx0{,}558
Sachant que le client a mangé son repas, la probabilité qu'il ait pris une boisson sans alcool est d'environ 0,558.