On lance une pièce de monnaie 100 fois par jour pendant 7 jours. Elle tombe sur « pile » avec une probabilité p = 0{,}5 . On note X_i la variable aléatoire qui compte le nombre de « pile » obtenus durant ces 100 lancers le i -ème jour.
En utilisant l'inégalité de concentration, comment peut-on majorer l'écart entre la moyenne de l'échantillon et son espérance en fonction d'un nombre m de fois la variance ?
Soit X_i la variable aléatoire comptant le nombre de « pile » obtenus au cours du i -ème jour.
On sait que quel que soit l'entier i compris entre 1 et 7 :
- X_i suit la loi binomiale \mathcal{B}(100; 0{,}5) ;
- son espérance est E(X_i)= \mu= 100 \times 0{,}5= 50{,}0 ;
- sa variance est V(X_i)=V=100 \times 0{,}5 \times (1-0{,}5)=25{,}0 ;
- son écart-type est \sigma(X_i)=\sqrt{25{,}0}=\sqrt{100 \times 0{,}5 \times (1-0{,}5)}= \sqrt{25{,}0} = 5{,}0 .
Soit M=\dfrac{X_1+X_2+...+X_{7}}{7} la variable aléatoire moyenne.
D'après l'inégalité de concentration, pour tout réel \delta>0 , on a :
P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{n\delta^2}
En choisissant \delta=m \sigma avec m entier naturel non nul dans l'inégalité de concentration, on obtient :
P\left(|M_n-\mu|\geq m\sigma\right)\leq \dfrac{1}{nm^2}
En remplaçant par les valeurs de l'énoncé, pour tout entier naturel non nul m , on a :
P\left(|M- 50{,}0|\geq 5{,}0 \times m \right)\leq \dfrac{1}{7 \times m^2}
On lance une pièce de monnaie 50 fois par jour pendant 15 jours. Elle tombe sur « pile » avec une probabilité p = 0{,}2 . On note X_i la variable aléatoire qui compte le nombre de « pile » obtenus durant ces 50 lancers le i -ème jour.
En utilisant l'inégalité de concentration, comment peut-on majorer l'écart entre la moyenne de l'échantillon et son espérance en fonction d'un nombre m de fois la variance ?
Soit X_i la variable aléatoire comptant le nombre de « pile » obtenus au cours du i -ème jour.
On sait que quel que soit l'entier i compris entre 1 et 15 :
- X_i suit la loi binomiale \mathcal{B}(50; 0{,}2) ;
- son espérance est E(X_i)= \mu= 50 \times 0{,}2= 10{,}0 ;
- sa variance est V(X_i)=V=50 \times 0{,}2 \times (1-0{,}2)=8{,}0 ;
- son écart-type est \sigma(X_i)=\sqrt{8{,}0}=\sqrt{50 \times 0{,}2 \times (1-0{,}2)}= \sqrt{8{,}0} \approx 2{,}8 .
Soit M=\dfrac{X_1+X_2+...+X_{15}}{15} la variable aléatoire moyenne.
D'après l'inégalité de concentration, pour tout réel \delta>0 , on a :
P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{n\delta^2}
En choisissant \delta=m \sigma avec m entier naturel non nul dans l'inégalité de concentration, on obtient :
P\left(|M_n-\mu|\geq m\sigma\right)\leq \dfrac{1}{nm^2}
En remplaçant par les valeurs de l'énoncé, pour tout entier naturel non nul m , on a :
P\left(|M- 10{,}0|\geq 2{,}8 \times m \right)\leq \dfrac{1}{15 \times m^2}
On lance une pièce de monnaie 10 fois par jour pendant 31 jours. Elle tombe sur « pile » avec une probabilité p = 0{,}1 . On note X_i la variable aléatoire qui compte le nombre de « pile » obtenus durant ces 10 lancers le i -ème jour.
En utilisant l'inégalité de concentration, comment peut-on majorer l'écart entre la moyenne de l'échantillon et son espérance en fonction d'un nombre m de fois la variance ?
Soit X_i la variable aléatoire comptant le nombre de « pile » obtenus au cours du i -ème jour.
On sait que quel que soit l'entier i compris entre 1 et 31 :
- X_i suit la loi binomiale \mathcal{B}(10; 0{,}1) ;
- son espérance est E(X_i)= \mu= 10 \times 0{,}1= 1{,}0 ;
- sa variance est V(X_i)=V=10 \times 0{,}1 \times (1-0{,}1)=0{,}9 ;
- son écart-type est \sigma(X_i)=\sqrt{0{,}9}=\sqrt{10 \times 0{,}1 \times (1-0{,}1)}= \sqrt{0{,}9} \approx 0{,}95 .
Soit M=\dfrac{X_1+X_2+...+X_{31}}{31} la variable aléatoire moyenne.
D'après l'inégalité de concentration, pour tout réel \delta>0 , on a :
P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{n\delta^2}
En choisissant \delta=m \sigma avec m entier naturel non nul dans l'inégalité de concentration, on obtient :
P\left(|M_n-\mu|\geq m\sigma\right)\leq \dfrac{1}{nm^2}
En remplaçant par les valeurs de l'énoncé, pour tout entier naturel non nul m , on a :
P\left(|M- 1{,}0|\geq 0{,}95 \times m \right)\leq \dfrac{1}{31 \times m^2}
On lance une pièce de monnaie 10 fois par jour pendant 50 jours. Elle tombe sur « pile » avec une probabilité p = 0{,}9 . On note X_i la variable aléatoire qui compte le nombre de « pile » obtenus durant ces 10 lancers le i -ème jour.
En utilisant l'inégalité de concentration, comment peut-on majorer l'écart entre la moyenne de l'échantillon et son espérance en fonction d'un nombre m de fois la variance ?
Soit X_i la variable aléatoire comptant le nombre de « pile » obtenus au cours du i -ème jour.
On sait que quel que soit l'entier i compris entre 1 et 50 :
- X_i suit la loi binomiale \mathcal{B}(10; 0{,}9) ;
- son espérance est E(X_i)= \mu= 10 \times 0{,}9= 9{,}0 ;
- sa variance est V(X_i)=V=10 \times 0{,}9 \times (1-0{,}9)=0{,}9 ;
- son écart-type est \sigma(X_i)=\sqrt{0{,}9}=\sqrt{10 \times 0{,}9 \times (1-0{,}9)}= \sqrt{0{,}9} = 0{,}9 .
Soit M=\dfrac{X_1+X_2+...+X_{50}}{50} la variable aléatoire moyenne.
D'après l'inégalité de concentration, pour tout réel \delta>0 , on a :
P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{n\delta^2}
En choisissant \delta=m \sigma avec m entier naturel non nul dans l'inégalité de concentration, on obtient :
P\left(|M_n-\mu|\geq m\sigma\right)\leq \dfrac{1}{nm^2}
En remplaçant par les valeurs de l'énoncé, pour tout entier naturel non nul m , on a :
P\left(|M- 9{,}0|\geq 0{,}95 \times m \right)\leq \dfrac{1}{50 \times m^2}
On lance une pièce de monnaie 20 fois par jour pendant 25 jours. Elle tombe sur « pile » avec une probabilité p = 0{,}5 . On note X_i la variable aléatoire qui compte le nombre de « pile » obtenus durant ces 20 lancers le i -ème jour.
En utilisant l'inégalité de concentration, comment peut-on majorer l'écart entre la moyenne de l'échantillon et son espérance en fonction d'un nombre m de fois la variance ?
Soit X_i la variable aléatoire comptant le nombre de « pile » obtenus au cours du i -ème jour.
On sait que quel que soit l'entier i compris entre 1 et 25 :
- X_i suit la loi binomiale \mathcal{B}(20; 0{,}5) ;
- son espérance est E(X_i)= \mu= 20 \times 0{,}5= 10{,}0 ;
- sa variance est V(X_i)=V=20 \times 0{,}5 \times (1-0{,}5)=5{,}0 ;
- son écart-type est \sigma(X_i)=\sqrt{5{,}0}=\sqrt{20 \times 0{,}5 \times (1-0{,}5)}= \sqrt{5{,}0} \approx 2{,}2 .
Soit M=\dfrac{X_1+X_2+...+X_{25}}{25} la variable aléatoire moyenne.
D'après l'inégalité de concentration, pour tout réel \delta>0 , on a :
P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{n\delta^2}
En choisissant \delta=m \sigma avec m entier naturel non nul dans l'inégalité de concentration, on obtient :
P\left(|M_n-\mu|\geq m\sigma\right)\leq \dfrac{1}{nm^2}
En remplaçant par les valeurs de l'énoncé, pour tout entier naturel non nul m , on a :
P\left(|M- 10{,}0|\geq 2{,}2 \times m \right)\leq \dfrac{1}{25 \times m^2}