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  4. Problème : Calculer la proportion des échantillons pour lesquels l’écart entre la moyenne et μ est inférieur ou égal à ks, ou à kσ/√n pour k = 1, 2, 3

Calculer la proportion des échantillons pour lesquels l’écart entre la moyenne et μ est inférieur ou égal à ks, ou à kσ/√n pour k = 1, 2, 3 Problème

Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.

Dernière modification : 12/05/2025 - Conforme au programme 2024-2025

Lors d'une expérience aléatoire qui se répète, on souhaite connaître la proportion des échantillons proche de l'espérance. Pour cela, on utilise l'inégalité de concentration.

Soit X une variable aléatoire réelle d'espérance \mu et de variance V .

Comment l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'écrit-elle ?

Soit X une variable aléatoire réelle d'espérance \mu et de variance V .
Soit a un entier naturel non nul.

Quelle inégalité est vraie ?

Soit n un entier naturel non nul.
Soient une loi de probabilité et (X_1;X_2;...;X_n) un échantillon de cette loi constitué de variables aléatoires d'espérance \mu et de variance V .
Soit M_n=\dfrac{X_1+X_2+...+X_n}{n} la variable aléatoire moyenne.

Comment l'inégalité de concentration s'écrit-elle ?

Jeanne joue, tous les jours d'un mois de 30 jours, 50 fois à « pile ou face » avec une pièce équilibrée.
Soit X_i  la variable aléatoire comptant le nombre de « pile » obtenus durant ces 50 lancers le i -ème jour.
On note M = \dfrac{X_1 + \cdots + X_{30}}{30} la variable aléatoire moyenne.

Quelle inégalité obtient-on pour  P\left(|M_n - \mu| \geq 2 \sigma\right)  ?

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Voir aussi
  • Cours : La loi des grands nombres
  • Quiz : La loi des grands nombres
  • Exercice : Connaître l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
  • Exercice : Définir une taille d’échantillon en fonction de la précision et du risque choisi à l'aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
  • Exercice : Connaître l'inégalité de concentration
  • Exercice : Définir une taille d’échantillon en fonction de la précision et du risque choisi à l'aide de l’inégalité de concentration
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  • Exercice : Etudier la moyenne d'un échantillon de taille n d’une loi de probabilité
  • Problème : Calculer P(|S_n-pn| > n) où S_n est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p) à l'aide d'un algorithme
  • Problème : Simuler une marche aléatoire à l'aide d'un algorithme
  • Problème : Simuler N échantillons de taille n d'une variable aléatoire donnée à l'aide d'un algorithme
  • Problème : Étudier une marche aléatoire
  • Exercice type bac : Métropole septembre 2024, Fabrication de médicaments

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