On considère la fonction f définie sur \left]0;+\infty\right[ par :
f\left(x\right)=2-\dfrac{1}{x}
Quelle proposition montre que f est majorée sur \left]0;+\infty\right[ ?
On remarque que pour tout x\in\left]0;+\infty\right[ :
-\dfrac{1}{x}\lt0, car un x\gt0.
En ajoutant 2 à chaque membre on obtient :
2-\dfrac{1}{x}\lt2
Ainsi, pour x\in\left]0;+\infty\right[ :
f\left(x\right)\lt2
Donc 2 est un majorant de f sur \left]0;+\infty\right[.
Quelle proposition montre que 2 n'est pas un maximum pour f sur \left]0;+\infty\right[ ?
2 est le maximum de f si et seulement s'il existe un réel x\in\left]0;+\infty\right[ tel que f\left(x\right)=2.
On résout donc sur \left]0;+\infty\right[ l'équation f\left(x\right)=2 :
f\left(x\right)=2
\Leftrightarrow2-\dfrac{1}{x}=2
\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}=0
Cette équation n'a pas de solution.
Donc 2 n'est pas le maximum de f.