On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-3\left(2x^2+3x-2\right)^2+4
Quelle proposition montre que f est majorée sur \mathbb{R} ?
On remarque que pour tout x\in\mathbb{R} :
-3\left(2x^2+3x-2\right)^2\leqslant0, car un carré est toujours positif ou nul.
En ajoutant 4 à chaque membre on obtient :
-3\left(2x^2+3x-2\right)^2+4\leqslant4
Ainsi, pour tout réel x :
f\left(x\right)\leqslant4
Donc 4 est un majorant de f sur \mathbb{R}.
Quelle proposition en déduit correctement que f admet un maximum sur \mathbb{R} ?
4 étant un majorant de f. On vérifie que 4 est également maximum. 4 est le maximum de f se et seulement s'il existe un réel x tel que f\left(x\right)=4.
On résout donc sur \mathbb{R} l'équation f\left(x\right)=4 :
f\left(x\right)=4
\Leftrightarrow-3\left(2x^2+3x-2\right)^2+4=4
\Leftrightarrow-3\left(2x^2+3x-2\right)^2=0
\Leftrightarrow2x^2+3x-2=0
Il s'agit d'une équation du second degré. Pour la résoudre calculons le discriminant du trinôme.
\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times2\times\left(-2\right)=9+16=25
\Delta\gt0, donc l'équation admet deux solutions réelles :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3-\sqrt{25}}{2\times2}=\dfrac{-3-5}{4}=\dfrac{-8}{4}=-2
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3+\sqrt{25}}{2\times2}=\dfrac{-3+5}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}
Donc f admet un maximum sur \mathbb{R}. Ce maximum est 4 et il est atteint en -2 et \dfrac{1}{2}.