On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=2\left(x-1\right)^2\left(4x+8\right)^2-1
Quelle proposition montre que f est minorée sur \mathbb{R} ?
On remarque que pour tout x\in\mathbb{R} :
2\left(x-1\right)^2\left(4x+8\right)^2\geqslant0, car un carré est toujours positif ou nul.
En ajoutant -1 à chaque membre on obtient :
2\left(x-1\right)^2\left(4x+8\right)^2-1\geqslant-1
Ainsi, pour tout réel x :
f\left(x\right)\geqslant-1
Donc -1 est un minorant de f sur \mathbb{R}.
Quelle proposition en déduit correctement que f admet un minimum sur \mathbb{R} ?
-1 étant un minorant de f. On vérifie que -1 est également minimum. -1 est le minimum de f se et seulement s'il existe un réel x tel que f\left(x\right)=-1.
On résout donc sur \mathbb{R} l'équation f\left(x\right)=-1 :
f\left(x\right)=-1
\Leftrightarrow2\left(x-1\right)^2\left(4x+8\right)^2-1=-1
\Leftrightarrow2\left(x-1\right)^2\left(4x+8\right)^2=0
Un produit de facteur est nul si et seulement si l'un de ses facteurs au moins est nul.
2\left(x-1\right)^2\left(4x+8\right)^2=0
\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\text{ ou }\left(4x+8\right)^2=0
\Leftrightarrow x-1=0\text{ ou }4x+8=0
\Leftrightarrow x=1\text{ ou }x=-2
Donc f admet un minimum sur \mathbb{R}. Ce minimum est -1 et il est atteint en -2 et 1.