On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=3+4\left(-x^2+9\right)^2
Quelle proposition montre que f est minorée sur \mathbb{R} ?
On remarque que pour tout x\in\mathbb{R} :
4\left(-x^2+9\right)^2\geqslant0, car un carré est toujours positif ou nul.
En ajoutant 3 à chaque membre on obtient :
3+4\left(-x^2+9\right)^2\geqslant3
Ainsi, pour tout réel x :
f\left(x\right)\geqslant3
Donc 3 est un minorant de f sur \mathbb{R}.
Quelle proposition en déduit correctement que f admet un minimum sur \mathbb{R} ?
3 étant un minorant de f. On vérifie que 3 est également minimum. 3 est le minimum de f se et seulement s'il existe un réel x tel que f\left(x\right)=3.
On résout donc sur \mathbb{R} l'équation f\left(x\right)=3 :
f\left(x\right)=3
\Leftrightarrow3+4\left(-x^2+9\right)^2=3
\Leftrightarrow4\left(-x^2+9\right)^2=0
\Leftrightarrow4\left(\left(-x+3\right)\left(-x-3\right)\right)^2=0
\Leftrightarrow\left(-x+3\right)\left(-x-3\right)=0
Un produit de facteur est nul si et seulement si l'un de ses facteurs au moins est nul.
\Leftrightarrow-x+3=0\text{ ou }-x-3=0
\Leftrightarrow x=3\text{ ou }x=-3
Donc f admet un minimum sur \mathbb{R}. Ce minimum est 3 et il est atteint en -3 et 3.