On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=3+4\left(-x^2+9\right)^2

Quelle proposition montre que f est minorée sur \mathbb{R} ?

Pour tout x de \mathbb{R}, 4\left( -x^2+9 \right)^{2} \geqslant 0 alors 3+4\left( -x^2+9 \right)^{2} \geqslant 3 soit encore f\left(x\right)\geqslant 3 et la fonction f est minorée par 3 pour tout x de \mathbb{R}.

On calcule la différence f\left(x\right)-3, on trouve alors -4\left(- x^2+9 \right)^{2}\geqslant 0, car -4\times\left(-x^2\right)\geqslant0 pour tout x de \mathbb{R}, et donc f\left(x\right)-3 \geqslant 0. Ainsi f\left(x\right) \geqslant 3

La fonction f est bien minorée par 3 pour tout x de \mathbb{R}.

On calcule la différence 3-f\left(x\right), on trouve alors 4\left(- x^2+9 \right)^{2}\leqslant 0, car 4\times\left(-x^2\right) \leqslant 0 pour tout x de \mathbb{R}, et donc 3-f\left(x\right) \leqslant 0. Ainsi f\left(x\right) \geqslant 3

La fonction f est bien minorée par 3 pour tout x de \mathbb{R}.

Quelle proposition en déduit correctement que f admet un minimum sur \mathbb{R} ?

On sait que 3 est un minorant de f. Reste à vérifier que c'est un minimum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=3 et on trouve x=-3 ou x=3.

Donc la fonction f admet pour minimum 3 et ce minimum est atteint pour x=-3 ou x=3.

On sait que 3 est un minorant de f. Reste à vérifier que c'est un minimum et qu'il existe.

On résout alors f\left(x\right)=3 et on trouve x=3.

Donc la fonction f admet pour minimum 3 et ce minimum est atteint pour x=3.

On sait que 3 est un minorant de f. Reste à vérifier que c'est un minimum et qu'il existe.

L'équation f\left(x\right)=3 et on trouve x=-3 ou x=3. n'admet pas de solution.

Donc la fonction f n'admet pas pour minimum 3.