On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-2x^4+5
Quelle proposition montre que f est majorée sur \mathbb{R} ?
On remarque que pour tout x\in\mathbb{R} :
-2x^4\leqslant0, car un carré est toujours positif ou nul et x^4=\left(x^2\right)^2
En ajoutant 5 à chaque membre on obtient :
-2x^4+5\leqslant5
Ainsi, pour tout réel x :
f\left(x\right)\leqslant5
Donc 5 est un majorant de f sur \mathbb{R}.
Quelle proposition en déduit correctement que que f admet un maximum sur \mathbb{R} ?
5 étant un majorant de f. On vérifie que 5 est également maximum. 5 est le maximum de f se et seulement s'il existe un réel x tel que f\left(x\right)=5.
On résout donc sur \mathbb{R} l'équation f\left(x\right)=5 :
f\left(x\right)=5
\Leftrightarrow-2x^4+5=5
\Leftrightarrow-2x^4=0
\Leftrightarrow x^4=0
\Leftrightarrow \left(x^2\right)^2=0
\Leftrightarrow x^2=0
\Leftrightarrow x=0
Donc f admet un maximum sur \mathbb{R}. Ce maximum est 5 et il est atteint en 0.