On considère deux entiers naturels non nuls a et b.
Parmi les égalités de PGCD suivantes, laquelle est juste ?
On considère deux entiers naturels non nuls a et b.
Parmi les égalités de PGCD suivantes, laquelle est juste ?
On considère deux entiers naturels non nuls a et b.
Parmi les égalités de PGCD suivantes, laquelle est juste ?
On considère deux entiers naturels non nuls a et b.
Parmi les égalités de PGCD suivantes, laquelle est juste ?
On considère deux entiers naturels non nuls a et b.
Quelle proposition démontre correctement que PGCD(2a+5b;3a+7b)=PGCD(a;b) ?
On pose d=PGCD(2a+5b;3a+7b) et d'=PGCD(a;b).
Montrons que d divise d'
On a d=PGCD(2a+5b;3a+7b).
On a donc d divise 2a+5b et 3a+7b, on en déduit que d divise toute combinaison linéaire de 2a+5b et 3a+7b.
D'où d divise -7(2a+5b)+5(3a+7b).
Or :
-7(2a+5b)+5(3a+7b)=a
De même on remarque que d divise 3(2a+5b)-2(3a+7b).
Or :
3(2a+5b)-2(3a+7b)=b
On en déduit que d divise a et b .
Donc d divise d'.
Montrons que d' divise d
On a d'=PGCD(a;b).
On a donc d' divise a et b , on en déduit que d' divise toute combinaison linéaire de a et b.
D'où d' divise 2a+5b.
De même on remarque que d' divise 3a+7b.
Donc d' divise d.
Conclusion
d divise d' et d' divise d.
On en déduit que d=d'.
PGCD(2a+5b;3a+7b)=PGCD(a;b)
On considère deux entiers naturels non nuls a et b.
Quelle proposition démontre correctement que PGCD(2a+3b;5a+7b)=PGCD(a;b) ?
On pose d=PGCD(2a+3b;5a+7b) et d'=PGCD(a;b).
Montrons que d divise d'
On a d=PGCD(2a+3b;5a+7b).
On a donc d divise 2a+3b et 5a+7b, on en déduit que d divise toute combinaison linéaire de 2a+3b et 5a+7b.
D'où d divise -7(2a+3b)+3(5a+7b).
Or :
-7(2a+3b)+3(5a+7b)=a
De même on remarque que d divise 5(2a+3b)-2(5a+7b).
Or :
5(2a+3b)-2(5a+7b)=b
On en déduit que d divise a et b .
Donc d divise d'.
Montrons que d' divise d
On a d'=PGCD(a;b).
On a donc d' divise a et b , on en déduit que d' divise toute combinaison linéaire de a et b.
D'où d' divise 2a+3b.
De même on remarque que d' divise 5a+7b.
Donc d' divise d.
Conclusion
d divise d' et d' divise d.
On en déduit que d=d'.
PGCD(2a+3b;5a+7b)=PGCD(a;b)
On considère deux entiers naturels non nuls a et b.
Quelle proposition démontre correctement que PGCD(2a-5b;-a+2b)=PGCD(a;b) ?
On pose d=PGCD(2a-5b;-a+2b) et d'=PGCD(a;b).
Montrons que d divise d'
On a d=PGCD(2a-5b;-a+2b).
On a donc d divise 2a-5b et -a+2b, on en déduit que d divise toute combinaison linéaire de 2a-5b et -a+2b.
D'où d divise -2(2a-5b)-5(-a+2b).
Or :
-2(2a-5b)-5(-a+2b)=a
De même on remarque que d divise -(2a-5b)-2(-a+2b).
Or :
-(2a-5b)-2(-a+2b)=b
On en déduit que d divise a et b .
Donc d divise d'.
Montrons que d' divise d
On a d'=PGCD(a;b).
On a donc d' divise a et b , on en déduit que d' divise toute combinaison linéaire de a et b.
D'où d' divise 2a-5b.
De même on remarque que d' divise -a+2b.
Donc d' divise d.
Conclusion
d divise d' et d' divise d.
On en déduit que d=d'.
PGCD(2a-5b;-a+2b)=PGCD(a;b)
On considère deux entiers naturels non nuls a et b.
Quelle proposition démontre correctement que PGCD(4a+7b;3a+5b)=PGCD(a;b) ?
On pose d=PGCD(4a+7b;3a+5b) et d'=PGCD(a;b).
Montrons que d divise d'
On a d=PGCD(4a+7b;3a+5b).
On a donc d divise 4a+7b et 3a+5b, on en déduit que d divise toute combinaison linéaire de 4a+7b et 3a+5b.
D'où d divise -5(4a+7b)+7(3a+5b).
Or :
-5(4a+7b)+7(3a+5b)=a
De même on remarque que d divise 3(4a+7b)-4(3a+5b).
Or :
3(4a+7b)-4(3a+5b)=b
On en déduit que d divise a et b .
Donc d divise d'.
Montrons que d' divise d
On a d'=PGCD(a;b).
On a donc d' divise a et b , on en déduit que d' divise toute combinaison linéaire de a et b.
D'où d' divise 4a+7b.
De même on remarque que d' divise 3a+5b.
Donc d' divise d.
Conclusion
d divise d' et d' divise d.
On en déduit que d=d'.
PGCD(4a+7b;3a+5b)=PGCD(a;b)