Montrer que deux PGCD sont égaux Exercice

On considère deux entiers naturels non nuls a et b.

Parmi les égalités de PGCD suivantes, laquelle est juste ?

PGCD(a+2b;3a+4b)=PGCD(a;b)

PGCD(−3a+5b;-a+2b)=PGCD(a;b)

PGCD(5a+6b;7a+8b)=PGCD(a;b)

PGCD(9a+10b;11a+12b)=PGCD(a;b)

On considère deux entiers naturels non nuls a et b.

Parmi les égalités de PGCD suivantes, laquelle est juste ?

PGCD(a+7b;3a+5b)=PGCD(a;b)

PGCD(5a+9b;4a+7b)=PGCD(a;b)

PGCD(10a+2b;-a+3b)=PGCD(a;b)

PGCD(10a+2b;−15a+3b)=PGCD(a;b)

On considère deux entiers naturels non nuls a et b.

Parmi les égalités de PGCD suivantes, laquelle est juste ?

PGCD(5a+2b;-a+8b)=PGCD(a;b)

PGCD(2a−15b;-a+8b)=PGCD(a;b)

PGCD(−5a+2b;-a+8b)=PGCD(a;b)

PGCD(−15a+2b;-a+8b)=PGCD(a;b)

On considère deux entiers naturels non nuls a et b.

Parmi les égalités de PGCD suivantes, laquelle est juste ?

PGCD(2a−12b;-a+8b)=PGCD(a;b)

PGCD(5a+3b;2a+b)=PGCD(a;b)

PGCD(2a−12b;-a+7b)=PGCD(a;b)

PGCD(4a+3b;2a+b)=PGCD(a;b)

On considère deux entiers naturels non nuls a et b.

Quelle proposition démontre correctement que PGCD(2a+5b;3a+7b)=PGCD(a;b) ?

Soit d=PGCD(2a+5b;3a+7b) et d'=PGCD(a;b).

d divise 2a+5b et d divise 3a+7b. d divise donc toute combinaison linéaire de 2a+5b et 3a+7b. On a ainsi -7\left(2a+5b\right)+5\left(3a+7b\right)=a et 3\left(2a+5b\right)-2\left(3a+7b\right)=b.

d divise donc d'.

d' divise a et b. d 'divise donc toute combinaison linéaire de a et b. d' divise donc 2a+5 et 3a+b.

d' divise donc d.

On a donc PGCD\left(2a+5b;3a+7b\right)=PGCD\left(a;b\right)

Soit d=PGCD(2a+5b;3a+7b) et d'=PGCD(a;b).

d divise 2a+5b et d divise 3a+7b. d divise donc toute combinaison linéaire de 2a+5b et 3a+7b. On a ainsi -7\left(2a+5b\right)+5\left(3a+7b\right)=a et 3\left(2a+5b\right)-2\left(3a+7b\right)=b.

d divise donc d'.

On a donc PGCD\left(2a+5b;3a+7b\right)=PGCD\left(a;b\right)

Soit d=PGCD(2a+5b;3a+7b) et d'=PGCD(a;b).

d divise 2a+5b et d divise 3a+7b. d divise donc toute combinaison linéaire de 2a+5b et 3a+7b. On a ainsi -7\left(2a+5b\right)+5\left(3a+7b\right)=a et 3\left(2a+5b\right)-7\left(3a+7b\right)=b.

d divise donc d'.

d' divise a et b. d 'divise donc toute combinaison linéaire de a et b. d' divise donc 2a+5 et 3a+b.

d' divise donc d.

On a donc PGCD\left(2a+5b;3a+7b\right)=PGCD\left(a;b\right)

Soit d=PGCD(2a+5b;3a+7b) et d'=PGCD(a;b).

d divise 2a+5b et d divise 3a+7b. d divise donc toute combinaison linéaire de 2a+5b et 3a+7b. On a ainsi -7\left(2a+5b\right)+5\left(3a+7b\right)=b et 3\left(2a+5b\right)-2\left(3a+7b\right)=a.

d divise donc d'.

d' divise a et b. d 'divise donc toute combinaison linéaire de a et b. d' divise donc 2a+5 et 3a+b.

d' divise donc d.

On a donc PGCD\left(2a+5b;3a+7b\right)=PGCD\left(a;b\right)

On considère deux entiers naturels non nuls a et b.

Quelle proposition démontre correctement que PGCD(2a+3b;5a+7b)=PGCD(a;b) ?

Soit d=PGCD(2a+3b;5a+7b) et d'=PGCD(a;b).

d divise 2a+3b et d divise 5a+7b. d divise donc toute combinaison linéaire de 2a+3b et 5a+7b. On a ainsi -7\left(2a+3b\right)+3\left(5a+7b\right)=a et 5\left(2a+3b\right)-2\left(5a+7b\right)=b.

d divise donc d'.

d' divise a et b. d 'divise donc toute combinaison linéaire de a et b. d' divise donc 2a+3b et 5a+7b.

d' divise donc d.

On a donc PGCD\left(2a+3b;5a+7b\right)=PGCD\left(a;b\right)

Soit d=PGCD(2a+3b;5a+7b) et d'=PGCD(a;b).

d divise 2a+3b et d divise 5a+7b. d divise donc toute combinaison linéaire de 2a+3b et 5a+7b. On a ainsi -7\left(2a+3b\right)+3\left(5a+7b\right)=a et 5\left(2a+3b\right)-2\left(5a+7b\right)=b.

d divise donc d'.

On a donc PGCD\left(2a+3b;5a+7b\right)=PGCD\left(a;b\right)

Soit d=PGCD(2a+3b;5a+7b) et d'=PGCD(a;b).

d divise 2a+3b et d divise 5a+7b. d divise donc toute combinaison linéaire de 2a+3b et 5a+7b. On a ainsi -7\left(2a+3b\right)+3\left(5a+7b\right)=b et 5\left(2a+3b\right)-2\left(5a+7b\right)=a.

d divise donc d'.

d' divise a et b. d 'divise donc toute combinaison linéaire de a et b. d' divise donc 2a+3b et 5a+7b.

d' divise donc d.

On a donc PGCD\left(2a+3b;5a+7b\right)=PGCD\left(a;b\right)

Soit d=PGCD(2a+3b;5a+7b) et d'=PGCD(a;b).

d divise 2a+3b et d divise 5a+7b. d divise donc toute combinaison linéaire de 2a+3b et 5a+7b. On a ainsi -7\left(2a+3b\right)+4\left(5a+7b\right)=a et 5\left(2a+3b\right)-4\left(5a+7b\right)=b.

d divise donc d'.

d' divise a et b. d 'divise donc toute combinaison linéaire de a et b. d' divise donc 2a+3b et 5a+7b.

d' divise donc d.

On a donc PGCD\left(2a+3b;5a+7b\right)=PGCD\left(a;b\right)

On considère deux entiers naturels non nuls a et b.

Quelle proposition démontre correctement que PGCD(2a-5b;-a+2b)=PGCD(a;b) ?

Soit d=PGCD(2a−5b;-a+2b) et d'=PGCD(a;b).

d divise 2a-5b et d divise -a+2b. d divise donc toute combinaison linéaire de 2a-5b et -a+2b. On a ainsi -2\left(2a-5b\right)-5\left(-a+2b\right)=a et -\left(2a-5b\right)-2\left(-a+2b\right)=b.

d divise donc d'.

d' divise a et b. d 'divise donc toute combinaison linéaire de a et b. d' divise donc 2a-5b et -a+2b.

d' divise donc d.

On a donc PGCD\left(2a-5b;-a+2b\right)=PGCD\left(a;b\right)

Soit d=PGCD(2a−5b;-a+2b) et d'=PGCD(a;b).

d divise 2a-5b et d divise -a+2b. d divise donc toute combinaison linéaire de 2a-5b et -a+2b. On a ainsi -2\left(2a-5b\right)-5\left(-a+2b\right)=a et \left(2a-5b\right)-2\left(-a+2b\right)=b.

d divise donc d'.

On a donc PGCD\left(2a-5b;-a+2b\right)=PGCD\left(a;b\right)

Soit d=PGCD(2a−5b;-a+2b) et d'=PGCD(a;b).

d divise 2a-5b et d divise -a+2b. d divise donc toute combinaison linéaire de 2a-5b et -a+2b. On a ainsi -2\left(2a-5b\right)-5\left(-a+2b\right)=b et \left(2a-5b\right)-2\left(-a+2b\right)=a.

d divise donc d'.

d' divise a et b. d 'divise donc toute combinaison linéaire de a et b. d' divise donc 2a-5b et -a+2b.

d' divise donc d.

On a donc PGCD\left(2a-5b;-a+2b\right)=PGCD\left(a;b\right)

Soit d=PGCD(2a−5b;-a+2b) et d'=PGCD(a;b).

d divise 2a-5b et d divise -a+2b. d divise donc toute combinaison linéaire de 2a-5b et -a+2b. On a ainsi -2\left(2a-5b\right)-5\left(-a+2b\right)=a et \left(2a-5b\right)-3\left(-a+2b\right)=b.

d divise donc d'.

d' divise a et b. d 'divise donc toute combinaison linéaire de a et b. d' divise donc 2a-5b et -a+2b.

d' divise donc d.

On a donc PGCD\left(2a-5b;-a+2b\right)=PGCD\left(a;b\right)

On considère deux entiers naturels non nuls a et b.

Quelle proposition démontre correctement que PGCD(4a+7b;3a+5b)=PGCD(a;b) ?

Soit d=PGCD(4a+7b;3a+5b) et d'=PGCD(a;b).

d divise 4a+7b et d divise 3a+5b. d divise donc toute combinaison linéaire de 4a+7b et 3a+5b. On a ainsi -5\left(4a+7b\right)+7\left(3a+5b\right)=a et 3\left(4a+7b\right)-4\left(3a+5b\right)=b.

d divise donc d'.

d' divise a et b. d 'divise donc toute combinaison linéaire de a et b. d' divise donc 4a+7b et 3a+5b.

d' divise donc d.

On a donc PGCD\left(4a+7b;3a+5b\right)=PGCD\left(a;b\right)

Soit d=PGCD(4a+7b;3a+5b) et d'=PGCD(a;b).

d divise 4a+7b et d divise 3a+5b. d divise donc toute combinaison linéaire de 4a+7b et 3a+5b. On a ainsi -5\left(4a+7b\right)+7\left(3a+5b\right)=a et 3\left(4a+7b\right)-4\left(3a+5b\right)=b.

d divise donc d'.

On a donc PGCD\left(4a+7b;3a+5b\right)=PGCD\left(a;b\right)

Soit d=PGCD(4a+7b;3a+5b) et d'=PGCD(a;b).

d divise 4a+7b et d divise 3a+5b. d divise donc toute combinaison linéaire de 4a+7b et 3a+5b. On a ainsi -5\left(4a+7b\right)+7\left(3a+5b\right)=b et 3\left(4a+7b\right)-4\left(3a+5b\right)=a.

d divise donc d'.

d' divise a et b. d 'divise donc toute combinaison linéaire de a et b. d' divise donc 4a+7b et 3a+5b.

d' divise donc d.

On a donc PGCD\left(4a+7b;3a+5b\right)=PGCD\left(a;b\right)

Soit d=PGCD(4a+7b;3a+5b) et d'=PGCD(a;b).

d divise 4a+7b et d divise 3a+5b. d divise donc toute combinaison linéaire de 4a+7b et 3a+5b. On a ainsi -5\left(4a+7b\right)+6\left(3a+5b\right)=a et 3\left(4a+7b\right)-4\left(3a+5b\right)=b.

d divise donc d'.

d' divise a et b. d 'divise donc toute combinaison linéaire de a et b. d' divise donc 4a+7b et 3a+5b.

d' divise donc d.

On a donc PGCD\left(4a+7b;3a+5b\right)=PGCD\left(a;b\right)