Utiliser le théorème de Gauss pour démontrer Exercice

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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

Démontrer que \left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 6.

\left(n-1\right)n est divisible par 2.

\left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 3.

De plus les entiers 2 et 3 sont premiers entre eux.

D'après le corollaire du théorème de Gauss, \left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 6.

\left(n-1\right)n est divisible par 3.

\left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 2.

De plus les entiers 2 et 3 sont premiers entre eux.

D'après le corollaire du théorème de Gauss, \left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 6.

\left(n-1\right)n est divisible par 2.

\left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 3.

De plus les entiers 2 et 3 sont premiers entre eux.

D'après le théorème de Bézout, \left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 6.

\left(n-1\right)n est divisible par 3.

\left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 2.

De plus les entiers 2 et 3 sont premiers entre eux.

D'après le théorème de Bézout, \left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 6.

Démontrer que n\left(n^4-1\right) est divisible par 30.

n\left(n^4-1\right) = n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right) = n \left(n^2+1\right) \left(n-1\right)\left(n+1\right)

D'après le corollaire de théorème de Gauss:

Si un entier naturel n est divisible par plusieurs entiers naturels premiers entre deux à deux, il est divisible par leur produit.

Or 30=2\times3\times5

n\left(n+1\right) est divisible par 2, donc n\left(n^4-1\right) est divisible par 2.

\left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 3, donc n\left(n^4-1\right) est divisible par 3.

De plus, n\left(n^4-1\right) est divisible par 5.

n\left(n^4-1\right) est donc divisible par 30.

D'après le corollaire de théorème de Gauss:

Si un entier naturel n est divisible par plusieurs entiers naturels premiers entre deux à deux, il est divisible par leur produit.

Or 30=2\times3\times5

n\left(n+1\right) est divisible par 3, donc n\left(n^4-1\right) est divisible par 3.

\left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 2, donc n\left(n^4-1\right) est divisible par 2.

De plus, n\left(n^4-1\right) est divisible par 5.

n\left(n^4-1\right) est donc divisible par 30.

n est divisible par 30.

n\left(n^4-1\right) est donc divisible par 30

\left(n^4-1\right) est divisible par 30.

n\left(n^4-1\right) est donc divisible par 30.

Démontrer que n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 12.

n^2\left(n^2-1\right) = n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right) = \left(n-1\right)n\left(n+1\right) n\\

D'après le corollaire du théorème de Gauss :

Si un entier naturel n est divisible par plusieurs entiers naturels premiers entre eux deux à deux, il est divisible par leur produit.

Or 12=3\times4

Donc, n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 12 si il est divisible par 3 et 4.

Or \left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 3,donc n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 3

De plus, n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 4.

Donc n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 12.

n^2\left(n^2-1\right) = n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right) = \left(n-1\right)n\left(n+1\right) n\\

D'après le corollaire du théorème de Gauss :

Si un entier naturel n est divisible par plusieurs entiers naturels premiers entre eux deux à deux, il est divisible par leur produit.

Or 12=3\times4

Donc, n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 12 si il est divisible par 3 et 4.

Or \left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 4,donc n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 4.

De plus, n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 3.

Donc n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 12.

Un carré est toujours multiplie de 2.

De plus \left(n²-1\right) est multiple de 6.

Donc n²\left(n²-1\right) est divisible par 12.

n^2\left(n^2-1\right) = n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right) = \left(n-1\right)n\left(n+1\right) n\\

D'après le corollaire du théorème de Gauss :

Si un entier naturel n est divisible par plusieurs entiers naturels premiers entre eux deux à deux, il est divisible par leur produit.

Or 12=2\times6

Donc, n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 12 si il est divisible par 2 et 6.

Or \left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 2,donc n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 2

De plus, n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 6.

Donc n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 12.

Par quel entier l'expression \left(n+7\right)\left(n+8\right)\left(n+9\right) est-elle divisible ?

Soit n un entier naturel non nul. Par quel entier l'expression n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right) est-elle divisible ?

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Soit n un entier naturel non nul. Par quel entier l'expression n\left(n+1\right)\left(2n+1\right) est-elle divisible ?

Soit n un entier naturel non nul. Par quel entier l'expression n\left(n+3\right) est-elle divisible ?