Démontrer que \left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 6.
\left(n-1\right)n est le produit de deux entiers consécutifs, il est donc divisible par 2.
\left(n-1\right)n\left(n+1\right) est le produit de trois entiers consécutifs, il est donc divisible par 3.
Donc, d'après le corollaire du théorème de Gauss :
Si un entier naturel n est divisible par plusieurs entiers naturels premiers entre eux deux à deux, il est divisible par leur produit.
Donc, comme 2 et 3 sont premiers entre eux :
\left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 6.
\left(n-1\right)n\left(n+1\right) est divisible par 6
Démontrer que n\left(n^4-1\right) est divisible par 30.
On factorise A afin de se ramener à une expression utilisable avec le théorème de Gauss.
On remarque que :
n\left(n^4-1\right) = n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right) = n \left(n^2+1\right) \left(n-1\right)\left(n+1\right)
D'après le corollaire du théorème de Gauss :
Si un entier naturel n est divisible par plusieurs entiers naturels premiers entre eux deux à deux, il est divisible par leur produit.
Donc, n\left(n^4-1\right) est divisible par 30 si n\left(n^4-1\right) est divisible par 2, 3 et 5.
Or \left(n-1\right)n est le produit de deux entiers consécutifs, il est donc divisible par 2.
De même \left(n-1\right)n\left(n+1\right) est le produit de trois entiers consécutifs, il est donc divisible par 3.
Il ne nous reste plus qu'à prouver que n\left(n^4-1\right) est divisible par 5, pour cela on détermine les restes de la division de n\left(n^4-1\right) par 5 dans un tableau modulo 5 :
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| n^2 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 |
| n^2+1 | 1 | 2 | 0 | 0 | 2 |
| n^2-1 | 4 | 0 | 3 | 3 | 0 |
| n\left(n^4-1\right) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
On en déduit que n\left(n^4-1\right) est divisible par 5.
Finalement n\left(n^4-1\right) est divisible par 2, 3 et 5.
Donc d'après le théorème de Gauss, n\left(n^4-1\right) est divisible par 30.
n\left(n^4-1\right) est divisible par 30.
Démontrer que n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 12.
On factorise A afin de se ramener à une expression utilisable avec le théorème de Gauss.
On remarque que :
n^2\left(n^2-1\right) = n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right) = \left(n-1\right)n\left(n+1\right) n
D'après le corollaire du théorème de Gauss :
Si un entier naturel n est divisible par plusieurs entiers naturels premiers entre eux deux à deux, il est divisible par leur produit.
Donc, n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 12 si n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 3 et 4.
Or \left(n-1\right)n\left(n+1\right) est le produit de trois entiers consécutifs, il est donc divisible par 3.
Il ne nous reste plus qu'à prouver que n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 4, pour cela on détermine les restes de la division de n^2\left(n^2-1\right) par 4 dans un tableau modulo 4 :
| n | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| n^2 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| n^2-1 | 3 | 0 | 3 | 0 |
| n^2\left(n^2-1\right) | 0 | 0 | 0 | 0 |
On en déduit que n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 4.
Finalement n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 3 et 4.
Donc d'après le théorème de Gauss, n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 12.
n^2\left(n^2-1\right) est divisible par 12.
Par quel entier l'expression \left(n+7\right)\left(n+8\right)\left(n+9\right) est-elle divisible ?
Soit n un entier naturel non nul. Par quel entier l'expression n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right) est-elle divisible ?
Soit n un entier naturel non nul. Par quel entier l'expression n\left(n+1\right)\left(2n+1\right) est-elle divisible ?
Soit n un entier naturel non nul. Par quel entier l'expression n\left(n+3\right) est-elle divisible ?