Résoudre une équation diophantienne dont une solution est connueMéthode

Afin de déterminer les solutions d'une équation diophantienne de type ax+by = 1 (avec a, b, x et y des entiers relatifs) dont on connaît un couple solution particulier d'entiers relatifs \left(c;d\right), on injecte ce couple dans l'expression de l'équation puis on utilise le théorème de Gauss.

Sachant que le couple \left(7;4\right) est solution de l'équation, déterminer tous les couples d'entiers relatifs \left(x;y\right) solutions de l'équation :

\left(E\right) : 19x-33y = 1

Etape 1

Utiliser le couple solution pour en déduire une nouvelle équation

Si le couple \left(x;y\right) est solution de l'équation alors ax+by = 1.

De même, le couple \left(c;d\right) est solution de l'équation alors ac+bd = 1

On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient :

ax-ac+by-bd = 1-1

Soit :

a\left(x-c\right)+b\left(y-d\right) =0

On en déduit que :

a\left(x-c\right)=b\left(d-y\right)

Si le couple \left(x;y\right) est solution de l'équation alors 19x-33y = 1.

De même, le couple \left(7;4\right) est solution de l'équation alors 19\times 7 -33 \times 4= 1.

On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient :

19x- 19 \times 7-33y+33\times 4 = 0

Soit :

19\left(x-7\right)-33\left(y-4\right) =0

On en déduit que :

19\left(x-7\right)=33\left(y-4\right)

Etape 2

Appliquer le théorème de Gauss

On suppose que le couple d'entiers \left(x;y\right) est solution de \left(E\right).

  • a\left(x-c\right)=b\left(d-y\right)
  • \left(x-c\right) et \left(d-y\right) sont des entiers

Alors a divise b\left(d-y\right) et b divise a\left(x-c\right).

D'après le théorème de Gauss, on sait que :

Si u, v et w sont des entiers tels que u divise le produit v w et u est premier avec v alors u divise w.

On en déduit que :

Si a et b sont premiers entre eux, alors a divise \left(d-y\right) et b divise \left(x-c\right).

On suppose que le couple d'entiers \left(x;y\right) est solution de \left(E\right).

  • 19\left(x-7\right)=33\left(y-4\right)
  • \left(x-7\right) et \left(y-4\right) sont des entiers

Alors 19 divise 33\left(y-4\right) et 33 divise 19\left(x-7\right).

D'après le théorème de Gauss, on sait que :

Si u, v et w sont des entiers tels que u divise le produit v w et u est premier avec v alors u divise w.

On en déduit que :

Comme 19 et 33 sont premiers entre eux, alors 19 divise \left(y-4\right) et 33 divise \left(x-7\right).

Etape 3

En déduire l'expression des solutions x et y de \left(E\right)

On a :

a divise \left(d-y\right).

Donc il existe k\in\mathbb{Z} tel que :

a\times k = d-y

Ainsi, il existe k\in\mathbb{Z} tel que :

y = d -a\times k

On remplace ensuite l'expression de y dans l'équation a\left(x-c\right)=b\left(d-y\right) afin de trouver l'expression de x.

19 divise \left(y-4\right)

Ainsi il existe un entier relatif k tel que 19k =y-4.

On en déduit que :

y = 4+19k

On remplace ensuite cette expression de y dans l'égalité suivante :

19\left(x-7\right)=33\left(y-4\right)

\Leftrightarrow 19\left(x-7\right)=33\left(4 +19k-4\right)

\Leftrightarrow 19\left(x-7\right)=33\times 19k

\Leftrightarrow x-7=33k

\Leftrightarrow x=7+33k

On en déduit que si le couple \left(x;y\right) est solution de \left(E\right), alors il existe un entier k tel que x = 7+33k et y = 4+19k.

Etape 4

Vérifier que la réciproque est vraie et conclure

On vérifie que les couples trouvés sont bien solutions de \left(E\right) en remplaçant dans l'équation.

On conclut en donnant les couples solutions de \left(E\right).

Réciproquement, on vérifie que les couples \left(7+33k;4+19k\right), avec k\in\mathbb{Z}, sont solutions de \left(E\right) en remplaçant dans l'équation :

19\left(7+33k\right)-33\left(4+19k\right)= 133+19\times 33k -132-33\times 19k = 133-132 = 1

Les couples \left(7+33k;4+19k\right), avec k\in\mathbb{Z}, sont bien solutions de \left(E\right).

On conclut que les couples solutions de \left(E\right) sont les couples de la forme \left(7+33k;4+19k\right), avec k \in \mathbb{Z}.