Montrer l'égalité de deux PGCDMéthode

Il est possible de démontrer l'égalité de deux PGCD en utilisant les propriétés des PGCD.

Soient a et b deux entiers naturels. Démontrer que PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a;b\right).

Etape 1

Simplifier l'expression du PGCD à l'aide de combinaisons linéaires

D'après le cours, on sait que :

PGCD\left(a;b\right) = PGCD \left(a; k\times a + k' \times b\right), avec k et k' des entiers relatifs tels que k'\neq 0.

On utilise cette propriété afin de simplifier l'expression du PGCD.

PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a+b ; 3a+4b - 3\left(a+b\right)\right)

PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a+b ; b\right)

PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a+b-b ; b\right)

PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a;b\right)

Etape 2

Conclure

On conclut en donnant l'égalité recherchée.

On conclut que l'on a bien :

PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a;b\right)