Il est possible de démontrer l'égalité de deux PGCD en utilisant les propriétés des PGCD.
Soient a et b deux entiers naturels. Démontrer que PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a;b\right).
Simplifier l'expression du PGCD à l'aide de combinaisons linéaires
D'après le cours, on sait que :
PGCD\left(a;b\right) = PGCD \left(a; k\times a + k' \times b\right), avec k et k' des entiers relatifs tels que k'\neq 0.
On utilise cette propriété afin de simplifier l'expression du PGCD.
PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a+b ; 3a+4b - 3\left(a+b\right)\right)
PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a+b ; b\right)
PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a+b-b ; b\right)
PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a;b\right)
Conclure
On conclut en donnant l'égalité recherchée.
On conclut que l'on a bien :
PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a;b\right)