On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \left(x;y\right) solutions de l'équation :
\left(E\right) : 41x - 27y = 1
On sait que le couple \left(2 ; 3\right) est solution de l'équation.
Quelle proposition démontre que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 41\left(x-2 \right) = 27\left(y-3\right) ?
Supposons que le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right).
On a alors 41x - 27y = 1
On sait également que 41 \times 2 -27 \times 3 = 1
Donc par soustraction membre à membre on obtient :
41x -41\times 2- 27y +27\times 3 = 1-1
Soit :
41\left(x-2\right)+ 27\left(-y+3\right) = 0
Ce qui donne :
41\left(x-2\right)= 27\left(y- 3\right)
On obtient l'implication cherchée :
Si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 41\left(x-2 \right) = 27\left(y-3\right)
Dans quelle proposition en déduit-on que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) alors il existe un entier k tel que x = 2 +27 k et y=3+41k ?
On suppose que le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right).
On a :
- 41\left(x-2 \right) = 27\left(y-3\right)
- \left(x-2\right) et \left(y -3\right) sont des entiers
Alors on a :
41 divise 27\left(y-3\right)
D'après le théorème de Gauss si a, b et c sont des entiers tels que a divise le produit bc et a est premier avec b alors a divise c.
Donc, comme 41 est premier avec 27, 41 divise \left(y-3\right).
Ainsi, il existe un entier relatif k tel que 41k = y-3
On en déduit que :
y = 3 + 41k
On peut finalement remplacer cette expression de y dans l'égalité suivante :
41\left(x-2 \right) = 27\left(y-3\right)
\Leftrightarrow 41\left(x-2 \right) = 27\left(3+41k-3\right)
\Leftrightarrow 41\left(x-2 \right) = 27 \times41k
\Leftrightarrow x-2= 27k
\Leftrightarrow x= 2+27k
Ce qui donne bien :
- x= 2+27k
- y = 3 + 41k
Si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right), alors il existe un entier k tel que x = 2 +27 k et y=3+41k
Quel est l'ensemble des couples solutions de \left(E\right) ?
Réciproquement, on vérifie que les couples \left(2+27k;3+41k \right) sont solutions de \left(E\right) en remplaçant dans l'équation :
41\left(2+27k\right) -27 \left(3+41k\right) = 82 +41 \times 27 k -81 -27\times 41 k = 1
Les couples \left(2+27k;3+41k \right) sont bien solutions de \left(E\right).
Les couples solutions de \left(E\right) sont les couples de la forme \left(2+27k ; 3+41k\right) avec k \in \mathbb{Z}.