D'après l'algorithme d'Euclide, quelle proposition correspond à une solution particulière de l'équation suivante ?
29x+17y=1
Divisions euclidiennes
La division euclidienne de 29 par 17 permet d'écrire :
29 =17 \times1 +12
En procédant à l'algorithme d'Euclide, on écrit la relation de la division euclidienne de 17 par 12 :
17 =12\times 1+5
Puis celle de 12 par 5 :
12 = 5\times 2+2
Puis celle de 5 par 2 :
5=2\times2+1
Remplacement des restes
En remontant l'algorithme d'Euclide, on peut alors montrer qu'une somme d'un multiple de 29 et d'un multiple de 17 est égale à 1.
On part de la dernière ligne de l'algorithme :
5=2\times2+1
On isole successivement le reste de chaque division euclidienne, dont on reporte l'expression :
1 = 5 -2\times2
On remplace ainsi 2 par 12-5\times2, d'après la troisième ligne de l'algorithme :
1 = 5 -2\times\left(12-5\times2\right)
\Leftrightarrow 1 = 5 -2\times12+5\times4
\Leftrightarrow 1 = -2\times12+5\times5
On peut ensuite remplacer 5 par 17-12, d'après la deuxième ligne de l'algorithme :
1 = -2\times12+5\times\left(17-12\right)
Enfin, on peut remplacer 12 par 29-17, d'après la première ligne de l'algorithme :
1 = -2\times\left(29-17\right)+5\times\left(17-29+17\right)
Il ne reste finalement plus qu'à développer et factoriser par 29 et 17 :
1 = -2\times 29+2\times17+5\times17 -5\times 29 +5\times17
\Leftrightarrow 1 = 29\times \textcolor{Red}{\left(-7\right)}+17\times\textcolor{Red}{\left(12\right)}
Le couple d'entiers \left(-7 ; 12\right) est solution de (E).
D'après l'algorithme d'Euclide, quelle proposition correspond à une solution particulière de l'équation suivante ?
7x+9y=1
Divisions euclidiennes
La division euclidienne de 9 et 7 permet d'écrire :
9 =7 \times1 +2
En procédant à l'algorithme d'Euclide, on écrit la relation de la division euclidienne de 7 par 2 :
7 =2\times 3+1
Remplacement des restes
En remontant l'algorithme d'Euclide, on peut alors montrer qu'une somme d'un multiple de 9 et d'un multiple de 7 est égale à 1.
On part de la dernière ligne de l'algorithme :
7=2\times3+1
On isole successivement le reste de chaque division euclidienne, dont on reporte l'expression :
1 = 7 -3\times2
On remplace ainsi 2 par 9-7\times1, d'après la première ligne de l'algorithme :
1 = 7 -3\times\left(9-7\times1\right)
Il ne reste finalement plus qu'à développer et factoriser par 9 et 7 :
1 = 7 -3\times9 +3\times7
\Leftrightarrow 1 = 7\times \textcolor{Red}{\left(4\right)}+9\times\textcolor{Red}{\left(-3\right)}
Le couple d'entiers \left(4 ; -3\right) est solution de (E).
D'après l'algorithme d'Euclide, quelle proposition correspond à une solution particulière de l'équation suivante ?
12x+7y=1
Divisions euclidiennes
La division euclidienne de 12 et 7 permet d'écrire :
12 =7 \times1 +5
En procédant à l'algorithme d'Euclide, on écrit la relation de la division euclidienne de 7 par 5 :
7 =5\times 1+2
Puis celle de 5 par 2 :
5 =2\times 2+1
Remplacement des restes
En remontant l'algorithme d'Euclide, on peut alors montrer qu'une somme d'un multiple de 12 et d'un multiple de 7 est égale à 1.
On part de la dernière ligne de l'algorithme :
5=2\times2+1
On isole successivement le reste de chaque division euclidienne, dont on reporte l'expression :
1 = 5 -2\times2
On remplace ainsi 2 par 7-5\times1, d'après la première ligne de l'algorithme :
1 = 5 -2\times\left(7-5\times1\right)
\Leftrightarrow 1 = 5 -2\times7+2\times5
\Leftrightarrow 1 = -2\times7+3\times5
On peut ensuite remplacer 5 par 12-7 d'après la première ligne de l'algorithme.
1 = -2\times7+3\times\left(12-7\right)
Il ne reste finalement plus qu'à développer et factoriser par 12 et 7 :
1 = -2\times7+3\times12 -3\times7
\Leftrightarrow 1 = 7\times \textcolor{Red}{\left(-5\right)}+12\times\textcolor{Red}{\left(3\right)}
Le couple d'entiers \left(3 ; -5\right) est solution de (E).
D'après l'algorithme d'Euclide, quelle proposition correspond à une solution particulière de l'équation suivante ?
-20x+9y=1
Divisions euclidiennes
La division euclidienne de -20 et 9 permet d'écrire :
-20=9 \times\left(-2\right) -2
En procédant à l'algorithme d'Euclide, on écrit la relation de la division euclidienne de 9 par -2 :
9 =\left(-2\right)\times \left(-4\right)+1
Remplacement des restes
En remontant l'algorithme d'Euclide, on peut alors montrer qu'une somme d'un multiple de -20 et d'un multiple de 9 est égale à 1.
On part de la dernière ligne de l'algorithme :
9=\left(-2\right)\times\left(-4\right)+1
On isole successivement le reste de chaque division euclidienne, dont on reporte l'expression :
1 = 9 -\left(-4\right)\times\left(-2\right)
On remplace ainsi -2 par -20+2\times9, d'après la première ligne de l'algorithme :
1 = 9 -\left(-4\right)\times\left(-20+9\times 2\right)
Il ne reste finalement plus qu'à développer et factoriser par -20 et 9 :
\Leftrightarrow 1 = 9 +4\times\left(-20\right)+8\times 9
\Leftrightarrow 1 = 9\times \textcolor{Red}{\left(9\right)}+\left(-20\right)\times\textcolor{Red}{\left(4\right)}
Le couple d'entiers \left(4;9\right) est solution de (E).
D'après l'algorithme d'Euclide, quelle proposition correspond à une solution particulière de l'équation suivante ?
37x+52y=1
Divisions euclidiennes
La division euclidienne de 52 et 37 permet d'écrire :
52=37 \times1 +15
En procédant à l'algorithme d'Euclide, on écrit la relation de la division euclidienne de 37 par 15 :
37 =15\times 2+7
Puis celle de 15 par 7 :
15 = 7\times 2 +1
Remplacement des restes
En remontant l'algorithme d'Euclide, on peut alors montrer qu'une somme d'un multiple de 52 et d'un multiple de 37 est égale à 1.
On part de la dernière ligne de l'algorithme :
15=2\times7+1
On isole successivement le reste de chaque division euclidienne, dont on reporte l'expression :
1=15-2\times7
On remplace ainsi 7 par 37-15\times2, d'après la deuxième ligne de l'algorithme :
1=15-2\times\left(37-15\times2\right)
\Leftrightarrow 1=-2\times37 + 5\times 15
On remplace maintenant 15 par 52-37\times1, d'après la première ligne de l'algorithme :
1=-2\times37 + 5\times \left(52-37\times 1\right)
Il ne reste finalement plus qu'à développer et factoriser par 52 et 37 :
1=-2\times37 + 5\times52-5\times37
\Leftrightarrow 1 = 37\times \textcolor{Red}{\left(-7\right)}+52\times\textcolor{Red}{\left(5\right)}
Le couple d'entiers \left(-7;5\right) est solution de (E).
D'après l'algorithme d'Euclide, quelle proposition correspond à une solution particulière de l'équation suivante ?
25x+7y=1
Divisions euclidiennes
La division euclidienne de 25 et 7 permet d'écrire :
25=7\times3+4
En procédant à l'algorithme d'Euclide, on écrit la relation de la division euclidienne de 7 par 4:
7= 4 \times 1+3
Puis celle de 4 par 3 :
4 =3 \times 1+1
Remplacement des restes
En remontant l'algorithme d'Euclide, on peut alors montrer qu'une somme d'un multiple de 25 et d'un multiple de 7 est égale à 1.
On part de la dernière ligne de l'algorithme :
4 =3 \times 1+1
On isole successivement le reste de chaque division euclidienne, dont on reporte l'expression :
1=4-3 \times1
On remplace ainsi 3 par 7-4\times1, d'après la deuxième ligne de l'algorithme :
1=4-1\times \left(7-4\times 1\right)
\Leftrightarrow 1=4-7+4
\Leftrightarrow 1=-7+2\times 4
On remplace maintenant 4 par 25-7\times3, d'après la première ligne de l'algorithme :
1=-7+2\times \left(25-7\times3\right)
Il ne reste finalement plus qu'à développer et factoriser par -7 et 25 :
1=-7+2\times 25-6\times7
\Leftrightarrow 1 = -7\times \textcolor{Red}{\left(-7\right)}+25\times\textcolor{Red}{\left(2\right)}
Le couple d'entiers \left(2;-7\right) est solution de (E).
D'après l'algorithme d'Euclide, quelle proposition correspond à une solution particulière de l'équation suivante ?
17x+10y=1
Division euclidienne
La division euclidienne de 17 et 10 permet d'écrire :
17=10\times1+7
En procédant à l'algorithme d'Euclide, on écrit la relation de la division euclidienne de 10 par 7 :
10= 7 \times 1+3
Puis celle de 7 par 3 :
7 = 2\times 3 + 1
Remplacement des restes
En remontant l'algorithme d'Euclide, on peut alors montrer qu'une somme d'un multiple de 17 et d'un multiple de 10 est égale à 1.
On part de la dernière ligne de l'algorithme :
7 = 2\times 3 + 1
On isole successivement le reste de chaque division euclidienne, dont on reporte l'expression :
1=7-2\times3
On remplace ainsi 3 par 10-7\times1, d'après la deuxième ligne de l'algorithme :
1=7-2\times\left(10-7\times1\right)
\Leftrightarrow 1=7-2\times 10 +2\times 7
\Leftrightarrow 1=-2\times 10+3\times7
On remplace maintenant 7 par 17-10\times1, d'après la première ligne de l'algorithme :
1=-2\times 10+3\times\left(17-10\times1\right)
Il ne reste finalement plus qu'à développer et factoriser par -7 et 25 :
1=-2\times 10+3\times 17-3\times10
\Leftrightarrow 1 = 10\times \textcolor{Red}{\left(-5\right)}+17\times\textcolor{Red}{\left(3\right)}
Le couple d'entiers \left(3;-5\right) est solution de (E).
D'après l'algorithme d'Euclide, quelle proposition correspond à une solution particulière de l'équation suivante ?
22x+5y=1
Division euclidienne
La division euclidienne de 17 et 10 permet d'écrire :
22=5\times4+2
En procédant à l'algorithme d'Euclide, on écrit la relation de la division euclidienne de 5 par 2 :
5= 2 \times 2+1
Remplacement des restes
En remontant l'algorithme d'Euclide, on peut alors montrer qu'une somme d'un multiple de 22 et d'un multiple de 5 est égale à 1.
On part de la dernière ligne de l'algorithme :
5 = 2\times 2 + 1
On isole successivement le reste de chaque division euclidienne, dont on reporte l'expression :
1=5-2\times2
On remplace ainsi 2 par 22-5\times4, d'après la deuxième ligne de l'algorithme :
1=5-2\times\left(22-5\times 4\right)
Il ne reste finalement plus qu'à développer et factoriser par 5 et 22 :
1=5 -2\times 22 +8\times 5
\Leftrightarrow 1 = 5\times \textcolor{Red}{\left(9\right)}+22\times\textcolor{Red}{\left(-2\right)}
Le couple d'entiers \left(-2;9\right) est solution de (E).