Calculer un PGCD de deux nombres donnés en fonction d'une variableMéthode

Afin de calculer le PGCD de deux nombres exprimés en fonction de n, on supprime n dans un des termes, on cherche les diviseurs de l'entier obtenu puis on donne la valeur du PGCD en fonction de n.

Déterminer en fonction de n le PGCD de 3n-5 et de n-1.

Etape 1

À l'aide d'une combinaison linéaire, éliminer n dans un des termes

D'après le cours, on a :

PGCD \left(a;b\right) =PGCD \left(a-kb ; b\right)k est un entier.

On utilise cette propriété afin d'éliminer les n dans un des deux termes.

Par combinaison linéaire :

\left(3n-5\right) -3\times\left(n-1\right) = 3n-5-3n+3=-2

Donc :

PGCD \left(3n-5;n-1\right) =PGCD \left(3n-5 ; -2\right)=PGCD \left(3n-5 ; 2\right)

Etape 2

Chercher les diviseurs de l'entier obtenu

On pose d = PGCD \left(a;b\right).

On sait que d divise l'entier déterminé à l'étape précédente.

On cherche tous les diviseurs de cet entier.

On pose :

d = PGCD \left(3n-5;n-1\right) =PGCD \left(3n-5 ; 2\right).

On sait ainsi que d divise 2.

On en déduit que d=1 ou d=2.

Etape 3

Conclure selon les valeurs de n

Pour chacun des diviseurs de d, on détermine, à l'aide d'un tableau, la valeur du PGCD en fonction de n.

D'après le résultat précédent, les seules valeurs possibles pour d sont 1 et 2.

Or, d doit diviser 3n-5 et n-1. On détermine alors la table des restes de la division euclidienne de 3n-5 et n-1 par 2 en fonction des valeurs de n :

n\equiv \left[2\right] 0 1
3n-5\equiv \left[2\right] 1 0
n-1\equiv \left[2\right] 1 0

Donc 2 divise 3n-5 et n-1 si et seulement si n\equiv 1\left[2\right].

On en conclut :

  • Si n est impair : PGCD \left(3n-5;n-1\right) =2
  • Si n est pair : PGCD \left(3n-5;n-1\right) =1