Utiliser le théorème de GaussMéthode

Afin de montrer qu'un nombre a exprimé en fonction de n est multiple d'un autre nombre noté b, on utilise le théorème de Gauss.

Démontrer que n\left(n+1\right)\left(n+2\right) est divisible par 6.

Etape 1

Décomposer le nombre b en produit de nombres premiers entre eux.

Si b n'est pas premier, on le décompose en produit de nombres premiers entre eux.

6 n'est pas premier. On écrit donc :

6=3\times2.

2 et 3 sont bien des nombres premiers entre eux.

Etape 2

Démontrer que chaque facteur de b divise a

On montre que chaque facteur de b divise a.

n\left(n+1\right) est le produit de deux entiers consécutifs, il est donc divisible par 2. Donc 2 divise n\left(n+1\right)\left(n+2\right) .

n\left(n+1\right)\left(n+2\right) est le produit de trois entiers consécutifs, il est donc divisible par 3.

On en déduit que 2 et 3 divisent bien n\left(n+1\right)\left(n+2\right).

Etape 3

Appliquer le corollaire du théorème de Gauss

D'après le corollaire du théorème de Gauss :

Si un entier naturel n est divisible par plusieurs entiers naturels premiers entre eux deux à deux, il est divisible par le produit de ces nombres.

Si un entier naturel a est divisible par plusieurs entiers naturels premiers entre eux deux à deux, il est divisible par le produit de ces nombres. Comme 2 et 3 divisent n\left(n+1\right)\left(n+2\right), 2\times3 divise n\left(n+1\right)\left(n+2\right).

Etape 4

Conclure

On en conclut que le nombre est divisible par le produit des facteurs déterminés ci-dessus.

On en conclut que n\left(n+1\right)\left(n+2\right) est divisible par 6.