Sommaire
1Décomposer le nombre b en produit de nombres premiers entre eux. 2Démontrer que chaque facteur de b divise a 3Appliquer le corollaire du théorème de Gauss 4Conclure Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020
Afin de montrer qu'un nombre a exprimé en fonction de n est multiple d'un autre nombre noté b, on utilise le théorème de Gauss.
Démontrer que n\left(n+1\right)\left(n+2\right) est divisible par 6.
Décomposer le nombre b en produit de nombres premiers entre eux.
Si b n'est pas premier, on le décompose en produit de nombres premiers entre eux.
6 n'est pas premier. On écrit donc :
6=3\times2.
2 et 3 sont bien des nombres premiers entre eux.
Démontrer que chaque facteur de b divise a
On montre que chaque facteur de b divise a.
n\left(n+1\right) est le produit de deux entiers consécutifs, il est donc divisible par 2. Donc 2 divise n\left(n+1\right)\left(n+2\right) .
n\left(n+1\right)\left(n+2\right) est le produit de trois entiers consécutifs, il est donc divisible par 3.
On en déduit que 2 et 3 divisent bien n\left(n+1\right)\left(n+2\right).
Appliquer le corollaire du théorème de Gauss
D'après le corollaire du théorème de Gauss :
Si un entier naturel n est divisible par plusieurs entiers naturels premiers entre eux deux à deux, il est divisible par le produit de ces nombres.
Si un entier naturel a est divisible par plusieurs entiers naturels premiers entre eux deux à deux, il est divisible par le produit de ces nombres. Comme 2 et 3 divisent n\left(n+1\right)\left(n+2\right), 2\times3 divise n\left(n+1\right)\left(n+2\right).
Conclure
On en conclut que le nombre est divisible par le produit des facteurs déterminés ci-dessus.
On en conclut que n\left(n+1\right)\left(n+2\right) est divisible par 6.