Moyenne et écart-type de deux séries continues Problème

D'après le tableau de l'énoncé, nous constatons que nous sommes face à une série continue. Pour calculer la moyenne et l'écart-type de cette série, il nous faut calculer tout d'abord le centre de chaque classe.

On obtient le tableau ci-dessous :

Tailles (en cm)	118,25	118,75	119,5	120,5	121,75
Machine 1	2	7	10	18	3

D'après le cours, nous avons une formule pour calculer une moyenne qui est :

\overline{x}\approx\cfrac{1}{N}\sum x_i n_i avec :

N=\sum n_i=2+7+10+18+3=40 donc :

\overline{x}\approx\cfrac{118{,}25\times2+118{,}75\times7+119{,}5\times10+120{,}5\times18+121{,}75\times3}{40}

\overline{x}\approx 119{,}925\approx 119{,}9

• La moyenne de cette série est d'environ 119,9.

Pour calculer l'écart-type, nous savons d'après le cours que :

\sigma=\sqrt{V} avec \sigma qui désigne l'écart-type et V qui désigne la variance.

Calculons tout d'abord la variance.

D'après le cours nous savons que :

V\approx\cfrac{1}{N}\sum n_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2 donc :

V\approx\cfrac{2\left(118{,}25-119{,}925\right)^2+7\left(118{,}75-119{,}925\right)^2+10\left(119{,}5-119{,}925\right)^2+18\left(120{,}5-119{,}925\right)^2+3\left(121{,}75-119{,}925\right)^2}{40}

V\approx 0{,}83

D'où :

\sigma=\sqrt{V}\approx 0{,}91

L'écart-type de cette série est donc d'environ 0,91.

Après avoir arrondi les valeurs au millimètre près :

D'après le tableau de l'énoncé, nous constatons que nous sommes face à une série continue. Pour calculer la moyenne et l'écart-type de cette série, il nous faut calculer tout d'abord le centre de chaque classe.

On obtient le tableau ci-dessous :

Tailles (en cm)	118,25	118,75	119,5	120,5	121,75
Machine 2	1	6	9	20	4

D'après le cours, nous avons une formule pour calculer une moyenne qui est :

\overline{x}\approx\cfrac{1}{N}\sum x_i n_i avec :

N=\sum n_i=1+6+9+20+4=40 donc :

\overline{x}\approx\cfrac{118{,}25\times1+118{,}75\times6+119{,}5\times9+120{,}5\times20+121{,}75\times4}{40}

\overline{x}\approx120{,}08

• La moyenne de cette série est d'environ 120,08.

Pour calculer l'écart-type, nous savons d'après le cours que :

\sigma=\sqrt{V} avec \sigma qui désigne l'écart-type et V qui désigne la variance.

Calculons donc tout d'abord la variance.

D'après le cours nous avons que :

V\approx\cfrac{1}{N}\sum n_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2 donc :

V\approx\cfrac{1\left(118{,}25-120{,}08\right)^2+6\left(118{,}75-120{,}08\right)^2+9\left(119{,}5-120{,}08\right)^2+20\left(120{,}5-120{,}08\right)^2+4\left(121{,}75-120{,}08\right)^2}{40}

V\approx 0{,}79

D'où :

\sigma=\sqrt{V}\approx 0{,}89

L'écart-type de cette série est donc d'environ 0,89.

Après avoir arrondi les valeurs au millimètre près :

L'ensemble des machines correspond aux machines 1 et 2.

On résume cela dans le tableau suivant en prenant toujours le centre de chaque classe.

On obtient alors :

Tailles (en cm)	118,25	118,75	119,5	120,5	121,75
L'ensemble des machines	3	13	19	38	7

D'après le cours, nous avons une formule pour calculer une moyenne qui est :

\overline{x}\approx\cfrac{1}{N}\sum x_i n_i avec :

N=\sum n_i=3+13+19+38+7=80 donc :

\overline{x}\approx\cfrac{118{,}25\times3+118{,}75\times13+119{,}5\times19+120{,}5\times38+121{,}75\times7}{80}

\overline{x}\approx120

• La moyenne de cette série est d'environ 120.

Pour calculer l'écart-type, nous savons d'après le cours que :

\sigma=\sqrt{V} avec \sigma qui désigne l'écart-type et V qui désigne la variance.

Calculons donc tout d'abord la variance.

D'après le cours nous avons que :

V\approx\cfrac{1}{N}\sum n_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2 donc :

V\approx\cfrac{1\left(118{,}25-120{,}08\right)^2+6\left(118{,}75-120{,}08\right)^2+9\left(119{,}5-120{,}08\right)^2+20\left(120{,}5-120{,}08\right)^2+4\left(121{,}75-120{,}08\right)^2}{40}

V\approx 0{,}81

D'où :

\sigma=\sqrt{V}\approx 0{,}90

L'écart-type de cette série est donc d'environ 0,90.

Après avoir arrondi les valeurs au millimètre près :