La description du mouvementCours

I

Les outils nécessaires à la description d'un mouvement

A

Le système

Système

Le système est l'ensemble de corps dont on étudie le mouvement. Pour une étude rigoureuse, il est important de bien le définir.

On s'intéresse au mouvement d'une voiture. Le mouvement ne sera pas le même si le système choisi est le véhicule ou une de ses roues.

B

Le référentiel

Référentiel

Le référentiel est l'objet par rapport auquel on étudie le mouvement du système. Le choix judicieux d'un référentiel permet de simplifier la description du mouvement du système.

Un référentiel est constitué :

  • d'une horloge permettant un repérage des dates ;
  • d'un solide de référence par rapport auquel on repère les positions du système.
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Un repère orthonormé est associé au solide de référence et permet de repérer la position du système. Dans le cas du référentiel terrestre, on se limite en général à une étude en deux dimensions, les axes étant de direction horizontale (axe x) et verticale (axe y ou z).

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C

La trajectoire

Trajectoire

La trajectoire est la figure décrite par le système lors de son mouvement.

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La figure qui rassemble les différentes positions d'un système à intervalle de temps régulier est appelée chronophotographie.

On distingue plusieurs types de trajectoires, reconnaissables sur une chronophotographie :

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Sur la chronophotographie suivante, la trajectoire de la moto est rectiligne.

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Lorsque les dimensions du système sont petites devant les distances caractéristiques du mouvement étudié, il est possible de limiter l'étude de son mouvement à celle d'un seul point auquel on associe la masse du système, on parle de point matériel. Généralement, on choisit le centre d'inertie d'un système car son mouvement est le plus simple (pour un corps homogène, il coïncide avec le centre de gravité du corps et aussi avec son centre géométrique). La simplification du mouvement s'accompagne d'une perte d'informations.

Dans le référentiel terrestre, on étudie le mouvement d'un marteau lancé de telle manière qu'il tourne sur lui-même :

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  • Le centre de gravité G du marteau, qui est aussi son centre d'inertie, est le seul point à avoir un mouvement simple.
  • En décrivant seulement le mouvement du centre d'inertie G, on perd les informations relatives à la rotation du marteau sur lui-même.
II

Le déplacement d'un point

A

Le vecteur déplacement

Vecteur déplacement 

Le vecteur déplacement permet de suivre le mouvement d'un point du système, généralement son centre d'inertie G. Dans un repère (Oxy) et pour une date t_i , il lie l'origine O au point G\left(t_i\right) et est donc noté \overrightarrow{\bf{OG\left(t_i\right)}}.

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B

La vitesse moyenne

La vitesse moyenne est le rapport de la distance parcourue d à la durée écoulée \Delta t, son unité est le mètre par seconde (m \cdot s−1) :

v_{\left(\text{m} \cdot \text{s}^{-1}\right)} = \dfrac{d_{\left(\text{m}\right)}}{\Delta t_{\left(\text{s}\right)}}

Lors de son record du monde, Usain Bolt a couru 100 m en 9,58 s. Sa vitesse moyenne était donc :

v_{\left(\text{m} \cdot \text{s}^{-1}\right)} = \dfrac{d_{\left(\text{m}\right)}}{\Delta t_{\left(\text{s}\right)}} = \dfrac{100}{9{,}58} = 10{,}4 \text{ m}\cdot \text{s}^{-1}

Les vitesses moyennes sont souvent aussi exprimées en kilomètres par heure (km \cdot h−1), aussi il peut être nécessaire de les convertir en mètres par seconde (m \cdot s−1) ou inversement :

v_{\left(\text{m} \cdot \text{s}^{-1}\right)} = \dfrac{v_{\left(\text{km} \cdot \text{h}^{-1}\right)}}{3{,}6}  et  v_{\left(\text{km} \cdot \text{h}^{-1}\right)} = 3{,}6 \times v_{\left(\text{m} \cdot \text{s}^{-1}\right)}

La vitesse moyenne d'Usain Bolt lors de son record mondial est, en kilomètres par heure : v_{\left(\text{km} \cdot \text{h}^{-1}\right)} = 3{,}6 \times v_{\left(\text{m} \cdot \text{s}^{−1}\right)} = 3{,}6 \times 10{,}4 = 37{,}4 \text{ km} \cdot \text{h}^{−1}

C

Le vecteur vitesse instantanée

Les variations du vecteur position, en norme ou en direction, sont suivies à l'aide du vecteur vitesse instantanée.

À un instant  t_i, le vecteur vitesse instantanée  \textcolor{Blue}{\overrightarrow{\bf{v\left(t_i\right)}}}  d'un point mobile est caractérisé par :

  • Sa valeur v (exprimée en m \cdot s−1), qui est la vitesse instantanée du point mobile ;
  • Sa direction, donnée par la tangente à la trajectoire au point  M\left(t_i\right) ;
  • Son sens qui correspond au sens du mouvement à l'instant t_i.
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Vitesse instantanée

En un point M_i  la valeur de la vitesse instantanée correspond à la vitesse moyenne calculée sur une durée très courte. Elle est donc égale au rapport de la distance M_{i-1}M_{i+1}  qui sépare les positions M_{i-1} (occupée juste avant M_{i} ) et M_{i+1} (occupée juste après M_{i} ) par la durée écoulée \Delta t  :

v_{\left(M_i\right)}= \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{ \Delta t}

Le plus souvent, la durée qui sépare deux positions successives du point mobile est constante. Si on la note, la durée écoulée entre les positions  M_{i-1}  et M_{i+1}  est \Delta t = 2\tau, d'où :

v_{\left(M_i\right)} = \dfrac{M_{i-1}M{i+1}}{2τ}

On dispose de la chronophotographie suivante :

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Pour tracer le vecteur vitesse instantanée au temps t_7  :

  • On calcule la vitesse instantanée au point M_7.

On mesure la longueur du segment M_6M_8  :

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M_6M_8=1{,}0\text{ cm}

Soit en tenant compte de l'échelle des longueurs de la figure :

M_6M_8 =1{,}0 \times 2 = 2{,}0 \text{ cm}

On effectue le calcul :

v_{\left(M_7\right)} = \dfrac{M_6M_8}{2\tau} = \dfrac{2{,}0}{2 \times 0{,}25} = 4{,}0 \text{ m} \cdot \text{s}^{−1}

On trace la tangente au point M_7  :

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  • On trace le vecteur vitesse instantanée sachant que :
    - sa direction est celle de la tangente tracée que l'on approche en traçant l'axe M_6M_8  ;
    - son origine est le point M_7 ;
    - son sens est donné par celui du mouvement ;
    - sa longueur dépend de la vitesse instantanée v_{\left(M_7\right)}  et d'une échelle des vitesses.

Ici, avec l'échelle 1,0 cm \leftrightarrow  2,0 cm \cdot s−1, la longueur du vecteur v_{\left(M_7\right)}  est :

\dfrac{4{,}0 \times 1{,}0}{2{,}0}=2{,}0 \text{ cm}

D'où :

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III

La description d'un mouvement

A

Décrire le mouvement du système

Pour décrire le mouvement du système, il faut toujours donner deux adjectifs :

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Le mouvement de la balle, étudié dans le référentiel terrestre, est curviligne (parabolique) et accéléré.

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B

La relativité du mouvement

Le mouvement du système (sa trajectoire et sa vitesse) dépend du référentiel dans lequel on l'étudie, on dit que le mouvement est relatif.

Dans un train en mouvement, on lâche une balle, sans vitesse initiale, et on observe son mouvement depuis l'intérieur et l'extérieur du train.

Vue depuis l'intérieur du train, la balle a un mouvement rectiligne et accéléré.

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Vue depuis l'extérieur du train, la balle a un mouvement différent, curviligne.

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Dans le cas des mouvements de translation, les vecteurs vitesses instantanées s'ajoutent vectoriellement. Il est ainsi possible de déterminer la vitesse instantanée d'un système dans un référentiel lorsqu'elle est connue dans un premier référentiel.

Ainsi, quand les vecteurs vitesses instantanées ont la même direction :

  • si leurs sens sont identiques, leurs valeurs s'ajoutent ;
  • si leurs sens sont opposés, leurs valeurs se soustraient.

Dans le référentiel terrestre, un train se déplace selon un vecteur vitesse instantanée \overrightarrow{v_T}, tel que v_T = 20 \text{ m} \cdot \text{s}^{−1}.

Dans le référentiel du train, une personne A se déplace selon un vecteur vitesse \overrightarrow{v_A}, tel que v_A = 2 \text{ m} \cdot \text{s}^{−1}.

  • Si les vecteurs \overrightarrow{v_T}  et \overrightarrow{v_A}  sont de même sens :
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Dans le référentiel terrestre, comme par rapport à l'observateur B , la personne A se déplace selon un vecteur vitesse  \overrightarrow{v_{A / B}} = \overrightarrow{v_{T}} + \overrightarrow{v_{A}}.

Donc avec une vitesse v_{A / B} = v_{T} +v_{A}= 20 + 2 = 22 \text{ m} \cdot \text{s}^{−1}.

  • Si les vecteurs \overrightarrow{v_{T}}  et \overrightarrow{v_{A}}  sont de sens opposés :
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Dans le référentiel terrestre, comme par rapport à l'observateur  B , la personne  A  se déplace selon un vecteur vitesse \overrightarrow{v_{A / B}} = \overrightarrow{v_{T}} - \overrightarrow{v_{A}}  .

Donc avec une vitesse  v_{A / B} = v_{T} -v_{A}= 20 - 2 = 18 \text{ m} \cdot \text{s}^{−1}.