La description du mouvementCours

I

Généralités sur la description d'un mouvement

L'objet dont on étudie le mouvement est appelé système. Pour étudier son mouvement, il faut choisir un référentiel. Ainsi, on peut décrire la trajectoire d'un objet.

A

Le système

Le système est un corps ou un ensemble de corps dont on étudie le mouvement.

Système

Le système est l'ensemble de corps dont on étudie le mouvement. Pour une étude rigoureuse, il est important de bien le définir.

On s'intéresse au mouvement d'une voiture. Le mouvement ne sera pas le même si le système choisi est le véhicule ou une de ses roues.

B

Le référentiel

Le référentiel est l'objet par rapport auquel on étudie le mouvement d'un système.

Référentiel

Le référentiel est l'objet par rapport auquel on étudie le mouvement d'un système. Le choix judicieux d'un référentiel permet de simplifier la description du mouvement du système.

Un référentiel est constitué :

  • d'une horloge permettant un repérage des dates ;
  • d'un solide de référence par rapport auquel on repère les positions du système.
-

Un repère orthonormé est associé au solide de référence et permet de repérer la position du système. Dans le cas du référentiel terrestre, on se limitera en général à une étude en deux dimensions, les axes étant de direction horizontale (axe x) et verticale (axe y ou z).

repère orthonormé référentiel terrestre
C

La trajectoire

La trajectoire d'un point d'un système est l'ensemble des positions successives occupées par ce point au cours du temps. La trajectoire dépend du référentiel choisi.

Trajectoire

La trajectoire est la figure décrite par le système lors de son mouvement.

définition trajectoire

La figure qui rassemble les différentes positions d'un système à intervalles de temps réguliers est appelée chronophotographie.

On distingue plusieurs types de trajectoires, reconnaissables sur une chronophotographie :

différents types trajectoires chronophotographie

Sur la chronophotographie suivante, la trajectoire de la moto est rectiligne.

chronophotographie trajectoire rectiligne

Lorsque les dimensions du système sont petites devant les distances caractéristiques du mouvement étudié, il est possible de limiter l'étude de son mouvement à celle d'un seul point. Au niveau de ce point, on associe la masse du système, on parle de point matériel. Généralement, on choisit le centre d'inertie d'un système car son mouvement est le plus simple. La simplification du mouvement s'accompagne d'une perte d'informations.

Dans le référentiel terrestre, on étudie le mouvement d'un marteau lancé de telle manière qu'il tourne sur lui-même :

étude mouvement marteau
  • Le centre de gravité G du marteau, qui est aussi son centre d'inertie, est le seul point à avoir un mouvement simple.
  • En décrivant seulement le mouvement du centre d'inertie G, on perd les informations relatives à la rotation du marteau sur lui-même.

Pour un corps homogène, le centre d'inertie coïncide avec le centre de gravité du corps et aussi avec son centre géométrique.

II

Le déplacement d'un point et ses représentations vectorielles

Le déplacement d'un point d'un système dans un référentiel donné est décrit par des vecteurs. Les positions successives du point étudié permettent de définir le vecteur déplacement. C'est à partir de ce vecteur déplacement que l'on peut définir le vecteur vitesse moyenne et le vecteur vitesse instantanée. On exploite la chronophotographie du mouvement d'un point d'un système en traçant les différents vecteurs du mouvement.

A

Le vecteur déplacement

Le vecteur déplacement permet de suivre le mouvement d'un point du système. Ce vecteur est défini à partir des positions successives du système. Les positions successives d'un système peuvent être représentées en langage de programmation.

Vecteur déplacement 

Le vecteur déplacement permet de suivre le mouvement d'un point M du système, généralement son centre d'inertie G. Dans un repère (Oxy) et pour une date t_i, il lie l'origine O au point M\left(t_i\right). Le vecteur déplacement est noté \overrightarrow{\bf{OM\left(t_i\right)}}.

-

Un programme Python permet de représenter les positions d'un système à intervalles de temps réguliers.

Supposons les positions du système et donc ses coordonnées en fonction du temps connues. On peut les consigner dans deux listes :

X = [0.00,0.75,1.00,1.75,2.00,2.75,3.00,3.75,4.00,4.75,5.00]
Z = [5.00,4.85,4.70,4.46,4.12,3.67,3.13,2.50,1.76,1.03,0.09]

Pour afficher des graphiques dans Python, il est nécessaire d'importer le module matplotlib avec le code suivant : 
import matplotlib.pyplot as plt

Après avoir saisi X et Z on utilise la fonction scatter qui nous permet de tracer un graphique point par point. Elle demande deux arguments, la liste des valeurs en abscisses et la liste des valeurs en ordonnée. La commande est : 
plt.scatter(x,z)

À l'aide des fonctions plt.title, plt.xlabel et plt.ylabel, on donne un titre à notre graphique ainsi que des légendes à ses axes.

Enfin la commande plt.show permet d'ouvrir une fenêtre avec le graphique. 

Le programme est comme suit : 

import matplotlib.pyplot as plt

#Les fonctions------------------------------------------------------
def positions_systeme(abscisses,ordonnees):

plt.scatter(abscisses,ordonnees,marker='+')

plt.title('Positions successives occupées par le système')

plt.xlabel('x en (m)')

plt.ylabel('Altitude z en (m)')

 

#Le programme principal--------------------------------------------

X = [0.00,0.75,1.00,1.75,2.00,2.75,3.00,3.75,4.00,4.75,5.00]

Z = [5.00,4.85,4.70,4.46,4.12,3.67,3.13,2.50,1.76,1.03,0.09]

positions_systeme(x,z)

plt.show()

B

La vitesse moyenne

La vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue par la durée écoulée.

Vitesse moyenne

La vitesse moyenne V d'un système en mouvement est un vecteur dont la valeur est le quotient de la distance parcourue d par la durée du parcours \Delta t. Son unité est le mètre par seconde. 

\bf V_{\left(\text{m}. \text{s}^{-1}\right)} = \dfrac{d_{\left(\text{m}\right)}}{\Delta t_{\left(\text{s}\right)}}

Lors de son record du monde, Usain Bolt a couru 100 m en 9,58 s. Sa vitesse moyenne était :

V_{\left(\text{m} \cdot \text{s}^{-1}\right)} = \dfrac{d_{\left(\text{m}\right)}}{\Delta t_{\left(\text{s}\right)}} = \dfrac{100}{9{,}58} = 10{,}4 \text{ m}\cdot \text{s}^{-1}

Les vitesses moyennes sont souvent aussi exprimées en kilomètres par heure (\text{km}. \text{h}^{-1}), aussi il peut être nécessaire de les convertir en mètres par seconde (m.s−1) ou inversement :

\bf V_{\left(\text{m}.\text{s}^{-1}\right)} = \dfrac{V_{\left(\text{km}.\text{h}^{-1}\right)} \times \text{1 000}}{\text{3 600}} = \dfrac{V_{\left(\text{km}.\text{h}^{-1}\right)}}{3{,}6}

\bf V_{\left(\text{km}.\text{h}^{-1}\right)} = 3{,}6 \times V_{\left(\text{m} .\text{s}^{-1}\right)}

La vitesse moyenne d'Usain Bolt lors de son record mondial est, en kilomètres par heure :

V_{\left(\text{km} .\text{h}^{−1}\right)} = 3{,}6 \times V_{\left(\text{m} .\text{s}^{−1}\right)}
v_{\left(\text{km} . \text{h}^{−1}\right)} = 3{,}6 \times 10{,}4
V_{\left(\text{km}. \text{h}^{−1}\right)} = 37{,}4 \text{ km} .\text{h}^{−1}

C

Le vecteur vitesse instantanée

Le vecteur vitesse instantanée permet de suivre l'évolution de la vitesse d'un système lors de son mouvement. Les vecteurs vitesse d'un système peuvent être représentés en langage de programmation.

1

Définition du vecteur vitesse instantanée

La vitesse instantanée en un point de la trajectoire est une vitesse moyenne calculée sur un intervalle de temps aussi court que possible. Cette vitesse peut-être représentée par un vecteur.

Vecteur vitesse instantanée

Le vecteur vitesse instantanée en un point de la trajectoire est une vitesse moyenne calculée sur un intervalle de temps aussi court que possible. Le sens est celui du mouvement et la direction est confondue avec la tangente en ce point.

définition vecteur vitesse instantanée

À un instant t_i, le vecteur vitesse instantanée \overrightarrow{v\left(t_i\right)} d'un point mobile est caractérisé par :

  • sa valeur v (exprimée en \text{m}.\text{s}^{-1}), qui est la vitesse instantanée du point mobile ;
  • sa direction, donnée par la tangente à la trajectoire au point M\left(t_i\right) ;
  • son sens qui correspond au sens du mouvement à l'instant t_i.
propriétés vecteur vitesse instantanée

En un point M_i, la valeur de la vitesse instantanée correspond à la vitesse moyenne calculée sur une durée très courte. Elle est donc égale au rapport de la distance M_{i−1}M_{i+1} qui sépare les positions M_{i−1} (occupée juste avant M_{i}) et M_{i+1} (occupée juste après M_{i}) par la durée écoulée \Delta t :

\bf v_{\left(M_i\right)}= \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{ \Delta t}

Le plus souvent, la durée qui sépare deux positions successives du point mobile est constante. Si on note cet intervalle de temps constant \tau, alors la durée écoulée entre les positions M_{i−1} et M_{i+1} est \Delta t = 2\tau, d'où :

v_{\left(M_i\right)} = \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2τ}

2

La représentation des vecteurs vitesse d'un système en programmation

Il est possible de représenter les vecteurs vitesse d'un système, modélisé par un point, à l'aide d'un langage de programmation tel que Python.

Un programme Python permet de représenter les vecteurs vitesse d'un système, modélisé par un point.

Supposons qu'on a toujours les positions du système à intervalles de temps réguliers, à savoir : 
X = [0.00,0.75,1.00,1.75,2.00,2.75,3.00,3.75,4.00,4.75,5.00]
Z = [5.00,4.85,4.70,4.46,4.12,3.67,3.13,2.50,1.76,1.03,0.09]

Calculons le vecteur vitesse dans une fonction vecteur_vitesse. Pour ce faire on part de la formule : 
v_{\left(M_i\right)} = \dfrac{M_{i}M_{i+1}}{τ}

On crée deux listes Vx et Vz et à l'aide de la fonction .append on ajoute une à une les valeurs calculées de Vx[i] et Vz[i]. Pour ce faire, on implémente une boucle for allant de n = 0 à n = len(X) − 1 c'est à dire s'arrêtant à lavant dernière valeur de la liste X.

La fonction vecteur_vitesse est comme suit : 

def vecteur_vitesse(X,Y):

v_x=[]

v_z=[]

temps = \tau

for n in range(len(X)−1):

v_x.append((X[n+1]-X[n])/(temps))

v_z.append((Z[n+1]-Z[n])/(temps))

return v_x,v_z

Pour tracer la vitesse on ajoute strictement le même programme que pour la position en changeant les arguments :

Les fonctions------------------------------------------------------

def vecteur_vitesse(X,Y):

v_x=[]

v_z=[]

temps = \tau

for n in range(len(X)−1):

v_x.append((X[n+1]-X[n])/(temps))

v_z.append((Z[n+1]-Z[n])/(temps))

return v_x,v_z

def positions_systeme(abscisses,ordonnees):

plt.scatter(abscisses,ordonnees,marker='+')

plt.title('Positions successives occupées par le système')

plt.xlabel('x en (m)')

plt.ylabel('Altitude z en (m)')

 

#Le programme principal--------------------------------------------

X = [0.00,0.75,1.00,1.75,2.00,2.75,3.00,3.75,4.00,4.75,5.00]

Z = [5.00,4.85,4.70,4.46,4.12,3.67,3.13,2.50,1.76,1.03,0.09]

V_x,V_z = vecteur_vitesse(X,Z)

positions_systeme(V_x,V_z)

plt.show()

D

L'exploitation d'une chronophotographie

On exploite cette chronophotographie en traçant les vecteurs vitesse instantanée aux différentes positions prises par le système.

Chronophotographie

La chronophotographie du mouvement d'un système est une technique photographique qui consiste à prendre une succession de photographies à intervalles de temps réguliers.

Sur la chronophotographie ci-dessous, une photographie a été prise toutes les 0,25 s pour pouvoir repérer les positions d'un système :

définition chronophotographie

Calculer une vitesse instantanée sur une chronophotographie

Pour calculer une vitesse instantanée sur une chronophotographie au point M_{i}, il est nécessaire de suivre les étapes suivantes :

  • mesurer la longueur du segment M_{i−1}M_{i+1} ;
  • déterminer l'intervalle de temps entre M_{i−1} et M_{i+1} ;
  • calculer la valeur de la vitesse instantanée.
calcul vitesse instantanée sur une chronophotographie

Sur la chronophotographie ci-dessus, on souhaite calculer la vitesse instantanée au point M_{7}. On mesure sur la chronophotographie :
M_6M_8=1{,}0\text{ cm}

En tenant compte de l'échelle des longueurs de la figure, on obtient :
M_6M_8 =1{,}0 \times 2 = 2{,}0 \text{ cm}

On effectue le calcul :
v_{\left(M_7\right)} = \dfrac{M_6M_8}{2\tau}
v_{\left(M_7\right)} = \dfrac{2{,}0}{2 \times 0{,}25}
v_{\left(M_7\right)} = 4{,}0 \text{ cm}.\text{s}^{−1}

Tracer un vecteur vitesse sur une chronophotographie

Pour tracer une vitesse instantanée sur une chronophotographie au point M_{i}, on commence la tangente à la courbe du mouvement au point M_i. Ensuite, on trace le vecteur vitesse instantanée sachant que :

  • sa direction est celle de la tangente tracée que l'on approche en traçant l'axe M_{i−1}M_{i+1} ;
  • son origine est le point M_i ;
  • son sens est donné par celui du mouvement ;
  • sa longueur dépend de la vitesse instantanée v_{\left(M_i\right)} et d'une échelle des vitesses.

Sur la chronophotographie ci-dessous, on souhaite tracer la vitesse instantanée au point M_{7}. Pour cela, on commence par tracer la tangente au point M_7 :

Tracer un vecteur vitesse sur une chronophotographie

Pour tracer le vecteur vitesse instantanée, on connaît :

  • sa direction qui est celle de la tangente en M_7 que l'on peut approcher en traçant l'axe M_6M_8 ;
  • son origine qui est le point M_7 ;
  • son sens qui est celui du mouvement ;
  • sa longueur qui dépend de la vitesse instantanée v_{\left(M_7\right)} et d'une échelle des vitesses.

 

Ici, avec l'échelle 1,0 cm \leftrightarrow 2,0 \text{cm}.\text{s}^{-1}, la longueur du vecteur v_{\left(M_7\right)} est :
v_{\left(M_7\right)}=\dfrac{4{,}0 \times 1{,}0}{2{,}0}=2{,}0 \text{ cm}
v_{\left(M_7\right)}=2{,}0 \text{ cm}

D'où :

Tracer un vecteur vitesse sur une chronophotographie
III

Les différents mouvements et la relativité du mouvement

La description d'un mouvement nécessite de nommer la trajectoire et l'évolution de la vitesse du système étudié. La description d'un mouvement est relative, elle dépend du référentiel choisi.

A

Les différents mouvements

Il existe différents mouvements. Pour les décrire, il est nécessaire de nommer la trajectoire suivie par le système et l'évolution de sa vitesse.

Pour décrire le mouvement d'un système, il faut toujours donner deux adjectifs :

décrire mouvement système

La balle décrit un mouvement curviligne. On note que les points de sa trajectoire sont de plus en plus éloignés les uns des autres, par conséquent ce mouvement est accéléré. Le mouvement de la balle, étudié dans le référentiel terrestre, est curviligne (parabolique) et accéléré.

mouvement curviligne
B

La relativité du mouvement

Le mouvement d'un système dépend du référentiel choisi, le mouvement est donc relatif.

Le mouvement du système (sa trajectoire et sa vitesse) dépend du référentiel dans lequel on l'étudie. On dit que le mouvement est relatif.

Dans un train en mouvement, on lâche une balle, sans vitesse initiale, et on observe son mouvement depuis l'intérieur et l'extérieur du train.

Vue depuis l'intérieur du train, la balle a un mouvement rectiligne et accéléré.

mouvement système relatif

Vue depuis l'extérieur du train, on doit ajouter au mouvement de la balle celui du train qui avance, la balle a un mouvement différent. Il est curviligne.

-

Dans le cas des mouvements de translation, les vecteurs vitesse instantanée s'ajoutent vectoriellement. Il est ainsi possible de déterminer la vitesse instantanée d'un système dans un référentiel lorsqu'elle est connue dans un premier référentiel.

Ainsi, quand les vecteurs vitesse instantanée ont la même direction :

  • leurs valeurs s'ajoutent si leurs sens sont identiques ;
  • leurs valeurs se soustraient si leurs sens sont opposés.

Dans le référentiel terrestre, un train se déplace selon un vecteur vitesse instantanée \overrightarrow{v_T}, tel que v_T = 20 \text{ m}.\text{s}^{−1}.

Dans le référentiel du train, une personne A se déplace selon un vecteur vitesse \overrightarrow{v_A}, tel que v_A = 2 \text{ m} .\text{s}^{−1}.

-

Si les vecteurs \overrightarrow{v_T} et \overrightarrow{v_A} sont de même sens, alors les valeurs s'ajoutent. Dans le référentiel terrestre, comme par rapport à l'observateur B, la personne A se déplace selon un vecteur vitesse de valeur \ce{v_{A / B}} = \ce{v_{T}} + \ce{v_{A}}, on a :
v_{A / B} = v_{T} +v_{A}
v_{A / B} = 20 + 2
v_{A / B} = 22 \text{ m} . \text{s}^{−1}

-

Si les vecteurs \overrightarrow{v_T} et \overrightarrow{v_A} sont de même sens, alors les valeurs s'ajoutent. Dans le référentiel terrestre, comme par rapport à l'observateur B, la personne A se déplace selon un vecteur vitesse \ce{v_{A / B}} = \ce{v_{T}} - \ce{v_{A}}, on a :
v_{A / B} = v_{T} -v_{A}
v_{A / B} = 20 − 2
v_{A / B} = 18 \text{ m}.\text{s}^{−1}