Toute mesure physique est entachée d'erreurs, de nature aléatoire et / ou systématique. Il est alors indispensable d'estimer l'incertitude absolue sur la valeur mesurée, ce qui permet de définir un intervalle de confiance dans lequel la valeur "vraie" de la grandeur à mesurer possède une certaine probabilité de se trouver (fonction du niveau de confiance choisi).
L'incertitude absolue permet également de quantifier la précision de la mesure à travers l'incertitude relative. La détermination d'un pourcentage d'erreur permet par ailleurs de comparer la valeur mesurée avec une valeur de référence.
Le mesurage consiste à rechercher la valeur numérique d'une grandeur.
Il n'existe pas de mesure exacte. Toute mesure est entachée d'erreurs et ne conduit qu'à une valeur plus ou moins proche de la valeur vraie de la grandeur à mesurer.
Deux types d'erreurs interviennent :
La qualité d'une mesure peut être caractérisée :
Pour un mesurande x, on détermine son incertitude absolue U\left(x\right) qui peut s'ajouter ou se retrancher au mesurande, ce qui conduit à un intervalle de confiance dans lequel la probabilité de trouver la valeur vraie de la grandeur à mesurer correspond au niveau de confiance choisi (95% le plus souvent).
La grandeur mesurée peut être donnée sous trois formes :
X = x \pm U\left(x\right)
x - U\left(x\right) \leqslant X \leqslant x + U\left(x\right)
X \in \left[x - U\left(x\right) ; x + U\left(x\right)\right]
Le mesurande et son incertitude absolue sont exprimés dans la même unité, l'incertitude étant le plus souvent présentée avec un seul chiffre significatif.
L'incertitude relative p est le rapport de l'incertitude absolue U\left(X\right) à la valeur mesurée de la grandeur X, l'une et l'autre dans la même unité :
p = \dfrac{U\left(X\right)}{X}
On mesure une longueur avec un double-décimètre, on obtient L = 160 mm. L'incertitude absolue sur la mesure est estimée à 1 mm. On a donc :
L = \left(160 \pm 1\right) mm
L'incertitude relative vaut :
p = \dfrac{U\left(L\right)}{L} = \dfrac{1}{160} = 0{,}006
L'incertitude relative s'exprime indifféremment sous forme d'un nombre décimal ou d'un pourcentage.
Sur une mesure de longueur :
p = \dfrac{U\left(L\right)}{L} = \dfrac{1}{160} = 0{,}006 = 0{,}6 %
De façon générale, l'incertitude relative d'une mesure est d'autant plus petite (donc la précision est d'autant plus grande) que la mesure exploite au mieux le calibre de l'instrument de mesure (le plus grand mesurande possible).
On mesure deux longueurs à l'aide d'une règle de 30 cm graduée au millimètre :
La précision de chacune des mesures vaut alors :
La seconde mesure est plus précise que la première.
La présentation du mesurande et de son incertitude doit respecter des consignes strictes d'écriture. Un résultat de mesure comporte trois éléments indissociables :
Le dernier chiffre à retenir pour la valeur du résultat de mesure doit avoir la même position que le dernier chiffre significatif de l'incertitude.
Le pourcentage d'erreur r permet de caractériser la qualité de la mesure. Il s'écrit le plus souvent sous forme d'un pourcentage.
On le calcule en comparant la valeur mesurée x à une valeur de référence x_{ref} :
r = \dfrac{\left|x - x_{ref}\right|}{x_{ref}}
Un protocole expérimental nous permet de déterminer la longueur d'onde d'un laser hélium-néon. On obtient \lambda = 657 nm. Cette valeur est à comparer avec celle de référence fournie par le constructeur : \lambda_{ref} = 632{,}8 nm.
Le pourcentage d'erreur vaut :
r = \dfrac{\left|\lambda - \lambda_{ref}\right|}{\lambda_{ref}} = \dfrac{\left|657 - 632{,}8\right|}{632{,}8}= 4 %
Comme le numérateur du pourcentage d'erreur est une valeur absolue, on peut également écrire :
r = \dfrac{|x_\text{ref}-x|}{x_\text{ref}}
L'analyse de la précision de la mesure (ou incertitude relative) permet une remise en question de la méthode utilisée, surtout si la valeur obtenue semble déraisonnable. Il faudra donc analyser les sources d'erreurs.
L'expression de l'incertitude sera toujours donnée, aucune relation n'est à connaître.
Sur un instrument muni de graduations, l'incertitude absolue sur la mesure de la grandeur X est donnée par la relation :
U\left(X\right) = 2 \times \dfrac{\text{Une graduation}}{\sqrt{12}}
On réalise une mesure de masse à l'aide d'une balance telle que celle figurant ci-dessous.
L'incertitude sur la mesure est :
U\left(m\right) = 2 \times \dfrac{\text{Une graduation}}{\sqrt{12}} = 2 \times \dfrac{50}{\sqrt{12}} = 29 g
Si la formule n'est pas donnée, par convention, l'incertitude de lecture est au minimum d'une demi-unité de graduation.
Un constructeur peut indiquer une tolérance (notée \pm t ) sur un instrument. L'incertitude a alors pour expression :
U\left(X\right) = 2 \times \dfrac{t}{\sqrt{3}}
On réalise une mesure de volume à l'aide d'une burette graduée telle que celle figurant ci-dessous.
L'incertitude sur la mesure est :
U\left(V\right) = 2 \times \dfrac{t}{\sqrt{3}} = 2 \times \dfrac{0{,}05}{\sqrt{3}} = 0{,}06 mL
À cette incertitude liée à la fabrication de l'instrument s'ajoute celle inhérente à son utilisation par l'expérimentateur, souvent beaucoup plus grande. Ainsi, il est souvent possible de ne prendre en considération que l'incertitude liée à la lecture sur l'instrument.
Sur la burette graduée précédente, l'expérimentateur ne peut effectuer une lecture plus précise qu'une demi-graduation, soit une incertitude de 0,5 mL. L'incertitude prise en compte sera donc celle de lecture et non celle donnée par le fabricant.
Lorsqu'un même opérateur répète plusieurs fois le mesurage d'une même grandeur X dans les mêmes conditions, il peut trouver des résultats différents. La valeur estimée est alors la valeur moyenne notée \overline{x} :
x = \overline{x} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}
Avec :
Une série de mesures de la période T des oscillations d'un pendule simple donne les valeurs suivantes :
| Numéro de la mesure | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| T\left(s\right) | 1,12 | 1,05 | 0,95 | 0,98 | 1,01 |
La valeur moyenne de la série de mesures est :
\overline{T} = \dfrac{1{,}12+1{,}05+0{,}95+0{,}98+1{,}01}{5} = 1{,}0 s
L'écart-type d'une série de mesures rend compte de la dispersion des mesures effectuées autour de la valeur moyenne.
L'écart-type, noté \sigma, se calcule à l'aide de la relation suivante :
\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \overline{x}\right)^2}{n-1}}
Avec :
Dans l'exemple qui précède sur la mesure de la période T des oscillations d'un pendule simple, l'écart-type est de :
\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \overline{x}\right)^2}{n-1}}
\sigma = \sqrt{\dfrac{\left(1{,}12-1{,}0\right)^2+\left(1{,}05-1{,}0\right)^2+\left(0{,}95-1{,}0\right)^2+\left(0{,}98-1{,}0\right)^2+\left(1{,}01-1{,}0\right)^2}{5-1}} = 0{,}07 \text{s}
L'incertitude absolue sur la valeur moyenne d'une série de mesures est liée au nombre n de mesures réalisées et à l'écart-type \sigma par la relation suivante :
U\left(X\right) = k \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
Où k est le facteur d'élargissement qui dépend du nombre de mesures et du niveau de confiance choisi sur les mesures (généralement 95%).
Pour un niveau de confiance de 95% et sur une série de 5 mesures, la valeur du coefficient d'élargissement est de 2,78. L'incertitude sur la série de mesures a donc pour valeur :
U\left(X\right) = k \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
U\left(T\right) = 2{,}78 \times \dfrac{0{,}07}{\sqrt{5}} = 0{,}09 s
Plus le nombre de mesures est grand, plus l'incertitude absolue sur la valeur moyenne est petite.
Le calcul de l'incertitude dépend de la relation utilisée. La formule pour la calculer sera donnée dans l'énoncé si besoin.
On cherche à déterminer la masse volumique \mu d'un liquide. On mesure un certain volume V de liquide à l'éprouvette graduée, puis on détermine la masse m de ce même volume de liquide à l'aide d'une balance.
La masse volumique \mu du liquide est donnée par le rapport de la masse au volume :
\mu = \dfrac{m}{V}
La précision de la mesure (ou incertitude relative) est donnée par :
\dfrac{U\left(\mu\right)}{\mu} = \sqrt{\left(\dfrac{U\left(m\right)}{m}\right)^2+\left(\dfrac{U\left(V\right)}{V}\right)^2}
U\left(m\right) et U\left(V\right) étant à déterminer au préalable.
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