Calculer une incertitude de répétabilitéMéthode

On effectue successivement plusieurs mesures sur une grandeur physique X. On obtient une série de valeurs mesurées x_i. La valeur moyenne \overline{x} de cette série de mesures définit la meilleure estimation de la valeur vraie. À cette valeur moyenne correspond une incertitude absolue de répétabilité, notée U\left(\overline{x}\right), dont la valeur est évaluée par une étude statistique.

Pour déterminer la valeur de la période T des oscillations d'un pendule, on effectue cinq mesures successives de cette période à l'aide d'un chronomètre. Les mesures sont effectuées dans les mêmes conditions par le même expérimentateur et avec le même chronomètre.

Numéro de la mesure 1 2 3 4 5
Valeur mesurée T_1 = 15{,}3 s T_2 = 15{,}4 s T_3 = 15{,}2 s T_4 = 15{,}6 s T_5 = 15{,}3 s

La valeur moyenne \overline{T} de la période calculée à partir de l'ensemble des mesures est de 15,4 s.
Le niveau de confiance est de 95% et le facteur d'élargissement k vaut 2.

On souhaite calculer l'incertitude absolue de répétabilité U\left(\overline{T}\right) sur la valeur moyenne attachée à cette série de mesures.

Etape 1

Rappeler la valeur moyenne \overline{x} de la série de mesures

On donne la valeur de la moyenne sur la série de mesures.

La valeur moyenne de la série de mesures \overline{T} vaut 15,4 s.

Etape 2

Calculer l'écart-type \sigma sur la série de mesures

L'écart-type \sigma sur une série de n mesures de valeurs xi et dont la valeur moyenne est \overline{x} est donnée par la formule suivante :

\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}}

On effectue l'application numérique pour calculer l'écart-type de la série de mesures.

On calcule l'écart-type sur la série de mesures de la période des oscillations. Cet écart-type est donnée par la formule suivante :

\sigma = \sqrt{\\\dfrac{\sum_{i=1}^{5}\left(T_i-\overline{T}\right)^2}{5-1}}

On effectue l'application numérique :

\sigma = \sqrt{\dfrac{\left(15{,}3-15{,}4\right)^2 + \left(15{,}2-15{,}4\right)^2 + \left(15{,}4-15{,}4\right)^2 + \left(15{,}6-15{,}4\right)^2 + \left(15{,}3-15{,}4\right)^2}{5-1}}

\sigma = 0{,}16

Etape 3

Rappeler la valeur du facteur d'élargissement k

On donne la valeur du facteur d'élargissement k pour la série de mesures considérée, donnée en général dans l'énoncé.

D'après l'énoncé, le facteur d'élargissement k pour cette série de mesures vaut 2.

Etape 4

Rappeler la formule de l'incertitude absolue de répétabilité sur la valeur moyenne

L'incertitude absolue de répétabilité U\left(x\right) sur la valeur moyenne \overline{x} correspondant à la série de n mesures dont l'écart-type est \sigma et dont le facteur d'élargissement est k est donnée par la formule suivante :

U\left(x\right) = \dfrac{k \times \sigma}{\sqrt{n}}

On en déduit la valeur de l'incertitude absolue de répétabilité U\left(\overline{T}\right) sur la valeur moyenne \overline{T} en utilisant la formule suivante :

U\left(\overline{T}\right) = \dfrac{k \times \sigma}{\sqrt{n}}

Etape 5

Effectuer l'application numérique

On effectue l'application numérique pour calculer la valeur de l'incertitude absolue de répétabilité U\left(x\right).

On effectue l'application numérique :

U\left(\overline{T}\right) = \dfrac{2 \times 0{,}16}{\sqrt{5}}

U\left(\overline{T}\right) = 0{,}14 s

L'incertitude absolue de répétabilité vaut donc 0,14 seconde.

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