Sommaire
1Rappeler la valeur moyenne \overline{x} de la série de mesures 2Calculer l'écart-type \sigma sur la série de mesures 3Rappeler la valeur du facteur d'élargissement k 4Rappeler la formule de l'incertitude absolue de répétabilité sur la valeur moyenne 5Effectuer l'application numérique Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020
On effectue successivement plusieurs mesures sur une grandeur physique X. On obtient une série de valeurs mesurées x_i. La valeur moyenne \overline{x} de cette série de mesures définit la meilleure estimation de la valeur vraie. À cette valeur moyenne correspond une incertitude absolue de répétabilité, notée U\left(\overline{x}\right), dont la valeur est évaluée par une étude statistique.
Pour déterminer la valeur de la période T des oscillations d'un pendule, on effectue cinq mesures successives de cette période à l'aide d'un chronomètre. Les mesures sont effectuées dans les mêmes conditions par le même expérimentateur et avec le même chronomètre.
| Numéro de la mesure | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Valeur mesurée | T_1 = 15{,}3 s | T_2 = 15{,}4 s | T_3 = 15{,}2 s | T_4 = 15{,}6 s | T_5 = 15{,}3 s |
La valeur moyenne \overline{T} de la période calculée à partir de l'ensemble des mesures est de 15,4 s.
Le niveau de confiance est de 95% et le facteur d'élargissement k vaut 2.
On souhaite calculer l'incertitude absolue de répétabilité U\left(\overline{T}\right) sur la valeur moyenne attachée à cette série de mesures.
Rappeler la valeur moyenne \overline{x} de la série de mesures
On donne la valeur de la moyenne sur la série de mesures.
La valeur moyenne de la série de mesures \overline{T} vaut 15,4 s.
Calculer l'écart-type \sigma sur la série de mesures
L'écart-type \sigma sur une série de n mesures de valeurs xi et dont la valeur moyenne est \overline{x} est donnée par la formule suivante :
\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}}
On effectue l'application numérique pour calculer l'écart-type de la série de mesures.
On calcule l'écart-type sur la série de mesures de la période des oscillations. Cet écart-type est donnée par la formule suivante :
\sigma = \sqrt{\\\dfrac{\sum_{i=1}^{5}\left(T_i-\overline{T}\right)^2}{5-1}}
On effectue l'application numérique :
\sigma = \sqrt{\dfrac{\left(15{,}3-15{,}4\right)^2 + \left(15{,}2-15{,}4\right)^2 + \left(15{,}4-15{,}4\right)^2 + \left(15{,}6-15{,}4\right)^2 + \left(15{,}3-15{,}4\right)^2}{5-1}}
\sigma = 0{,}16
Rappeler la valeur du facteur d'élargissement k
On donne la valeur du facteur d'élargissement k pour la série de mesures considérée, donnée en général dans l'énoncé.
D'après l'énoncé, le facteur d'élargissement k pour cette série de mesures vaut 2.
Rappeler la formule de l'incertitude absolue de répétabilité sur la valeur moyenne
L'incertitude absolue de répétabilité U\left(x\right) sur la valeur moyenne \overline{x} correspondant à la série de n mesures dont l'écart-type est \sigma et dont le facteur d'élargissement est k est donnée par la formule suivante :
U\left(x\right) = \dfrac{k \times \sigma}{\sqrt{n}}
On en déduit la valeur de l'incertitude absolue de répétabilité U\left(\overline{T}\right) sur la valeur moyenne \overline{T} en utilisant la formule suivante :
U\left(\overline{T}\right) = \dfrac{k \times \sigma}{\sqrt{n}}
Effectuer l'application numérique
On effectue l'application numérique pour calculer la valeur de l'incertitude absolue de répétabilité U\left(x\right).
On effectue l'application numérique :
U\left(\overline{T}\right) = \dfrac{2 \times 0{,}16}{\sqrt{5}}
U\left(\overline{T}\right) = 0{,}14 s
L'incertitude absolue de répétabilité vaut donc 0,14 seconde.