Calculer une incertitude de répétabilité Méthode

Sommaire

1Rappeler la valeur moyenne \overline{x} de la série de mesures 2Calculer l'écart-type \sigma sur la série de mesures 3Rappeler la valeur du facteur d'élargissement k 4Rappeler la formule de l'incertitude absolue de répétabilité sur la valeur moyenne 5Effectuer l'application numérique

On effectue successivement plusieurs mesures sur une grandeur physique X. On obtient une série de valeurs mesurées x_i. La valeur moyenne \overline{x} de cette série de mesures définit la meilleure estimation de la valeur vraie. À cette valeur moyenne correspond une incertitude absolue de répétabilité, notée U\left(\overline{x}\right), dont la valeur est évaluée par une étude statistique.

Pour déterminer la valeur de la période T des oscillations d'un pendule, on effectue cinq mesures successives de cette période à l'aide d'un chronomètre. Les mesures sont effectuées dans les mêmes conditions par le même expérimentateur et avec le même chronomètre.

Numéro de la mesure 1 2 3 4 5
Valeur mesurée T_1 = 15,3 s T_2 = 15,4 s T_3 = 15,2 s T_4 = 15,6 s T_5 = 15,3 s

La valeur moyenne \overline{T} de la période calculée à partir de l'ensemble des mesures est de 15,4 s.
Le niveau de confiance est de 95% et le facteur d'élargissement k vaut 2.

On souhaite calculer l'incertitude absolue de répétabilité U\left(\overline{T}\right) sur la valeur moyenne attachée à cette série de mesures.

Etape 1

Rappeler la valeur moyenne \overline{x} de la série de mesures

On donne la valeur de la moyenne sur la série de mesures.

La valeur moyenne de la série de mesures \overline{T} vaut 15,4 s.

Etape 2

Calculer l'écart-type \sigma sur la série de mesures

L'écart-type \sigma sur une série de n mesures de valeurs xi et dont la valeur moyenne est \overline{x} est donnée par la formule suivante :

\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}}

On effectue l'application numérique pour calculer l'écart-type de la série de mesures.

On calcule l'écart-type sur la série de mesures de la période des oscillations. Cet écart-type est donnée par la formule suivante :

\sigma = \sqrt{\\\dfrac{\sum_{i=1}^{5}\left(T_i-\overline{T}\right)^2}{5-1}}

On effectue l'application numérique :

\sigma = \sqrt{\dfrac{\left(15,3-15,4\right)^2 + \left(15,2-15,4\right)^2 + \left(15,4-15,4\right)^2 + \left(15,6-15,4\right)^2 + \left(15,3-15,4\right)^2}{5-1}}

\sigma = 0,16

Etape 3

Rappeler la valeur du facteur d'élargissement k

On donne la valeur du facteur d'élargissement k pour la série de mesures considérée, donnée en général dans l'énoncé.

D'après l'énoncé, le facteur d'élargissement k pour cette série de mesures vaut 2.

Etape 4

Rappeler la formule de l'incertitude absolue de répétabilité sur la valeur moyenne

L'incertitude absolue de répétabilité U\left(x\right) sur la valeur moyenne \overline{x} correspondant à la série de n mesures dont l'écart-type est \sigma et dont le facteur d'élargissement est k est donnée par la formule suivante :

U\left(x\right) = \dfrac{k \times \sigma}{\sqrt{n}}

On en déduit la valeur de l'incertitude absolue de répétabilité U\left(\overline{T}\right) sur la valeur moyenne \overline{T} en utilisant la formule suivante :

U\left(\overline{T}\right) = \dfrac{k \times \sigma}{\sqrt{n}}

Etape 5

Effectuer l'application numérique

On effectue l'application numérique pour calculer la valeur de l'incertitude absolue de répétabilité U\left(x\right).

On effectue l'application numérique :

U\left(\overline{T}\right) = \dfrac{2 \times 0,16}{\sqrt{5}}

U\left(\overline{T}\right) = 0,14 s

L'incertitude absolue de répétabilité vaut donc 0,14 seconde.