Atterrissage du premier étage d'une fusée, Amérique du Sud 2022 Exercice type bac

Une technologie spatiale développée par une société commerciale permet de récupérer le premier étage d'une fusée après son décollage. Le schéma ci-après montre qu'après la séparation entre le premier et le second étage, le premier revient sur Terre pour atterrir délicatement sur une plateforme. Cet atterrissage doit s'effectuer « en douceur », c'est-à-dire avec une valeur de la composante verticale de la vitesse inférieure à 6 \text{ m.s}^{-1}.

D'après : https://i.pinimg.com/originals/af/de/c9/afdec9a53447101073019892ab27041f.jpg

Cet exercice se propose d'étudier le retour sur Terre du premier étage de la fusée.

Le premier étage de la fusée chute dans l'atmosphère terrestre depuis une altitude de plusieurs dizaines de kilomètres. Pour ralentir sa chute, il utilise son moteur.

On étudie le mouvement de cet étage à proximité du sol après le déploiement du train d'atterrissage. Lors de cette dernière phase, sa masse est considérée comme constante.

Disposant d'une vidéo de l'atterrissage du premier étage d'une fusée, un pointage des positions du point M a été réalisé et a permis d'obtenir les graphiques 1 et 2 ci-après.

On a représenté ci-contre deux positions successives du point M aux dates t_1 = 0{,}50 \text{ s} et t_2 = 2{,}50 \text{ s} lors de la phase de l'atterrissage du premier étage. Celui-ci se trouve alors respectivement aux altitudes y_1 et y_2.

Le mouvement est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Lors de la dernière phase de l'atterrissage, le mouvement du système est vertical et s'effectue selon l'axe O_y.

$Graphique 1. Évolution de la coordonnée verticale $\displaystyle{v_y}$ du vecteur vitesse du point $\displaystyle{M}$ en fonction du temps.$

Graphique 1. Évolution de la coordonnée verticale v_y du vecteur vitesse du point M en fonction du temps.

$Graphique 2. Évolution de l'altitude $\displaystyle{y}$ du point $\displaystyle{M}$ en fonction du temps.$

Graphique 2. Évolution de l'altitude y du point M en fonction du temps.

Quelle est la représentation correcte du vecteur vitesse du point M aux instants t_1 et t_2 ?

Quelle est la valeur de l'accélération et quel commentaire peut-on faire à propos du signe de la projection de l'accélération suivant Oy ? Qualifier le mouvement.

a_y = \dfrac{dv_y}{dt} = 2{,}80 \text{ m.s}^{-2}, il s'agit d'un mouvement rectiligne uniformément ralenti.

a_y = \dfrac{dv_y}{dt} = 2{,}80 \text{ m.s}^{-2}, il s'agit d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

a_y = \dfrac{dy}{dt} =- 2{,}80 \text{ m.s}^{-2}, il s'agit d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

a_y = \dfrac{dy}{dt} = 2{,}80 \text{ m.s}^{-2}, il s'agit d'un mouvement rectiligne uniformément ralenti.

Sur quel schéma a-t-on correctement représenté les forces qui modélisent les principales actions qui s'exercent sur le premier étage de la fusée étudiée de manière à rendre compte du signe de la projection de l'accélération suivant Oy ?

En exploitant les graphiques 1 et 2, montrer que l'équation horaire y = f(t) du mouvement du point M peut s'écrire :

y=1{,}40 \ t^2-13{,}6 \ t + 33 avec y en \text{m} et t en \text{s}

L'équation horaire y = f(t) s'obtient en intégrant l'équation v_y = f(t), d'où y(t) = 2{,}80 \times \dfrac{t^2}{2} - 13{,}6 \times t + k et, d'après le graphique 2, k=y(t=0) =33 \text{ m}.

L'équation horaire y = f(t) s'obtient en dérivant l'équation v_y = f(t), d'où y(t) = 2{,}80 \times \dfrac{t^2}{2} + 13{,}6 \times t + k et, d'après le graphique 2, k=y(t=0) =33 \text{ m}.

L'équation horaire y = f(t) s'obtient en dérivant l'équation v_y = f(t), d'où y(t) = 2{,}80 \times \dfrac{t^2}{2} - 33 \times t + k et, d'après le graphique 2, k=y(t=0) =13{,}6 \text{ m}.

L'équation horaire y = f(t) s'obtient en intégrant l'équation v_y = f(t), d'où y(t) = 2{,}80 \times \dfrac{t^2}{2}+33 \times t + k et, d'après le graphique 2, k=y(t=0) =13{,}6 \text{ m}.

Quelle est la valeur de la vitesse du système lorsqu'il touche le sol en admettant que l'accélération ne varie pas sur les derniers mètres ?

En résolvant l'équation y(t_f) = 1{,}40 \times t^2 - 13{,}6 \times t +33=0, on détermine t_f = 4{,}7 \text{ s} et v=0{,}44 \text{ m.s}^{-1}.

En résolvant l'équation y(t_f) = 1{,}40 \times t^2 - 13{,}6 \times t +33=0, on détermine t_f = 4{,}7 \text{ s} et v=-0{,}44 \text{ m.s}^{-1}.

En résolvant l'équation y(t_f) = 1{,}40 \times t^2 - 13{,}6 \times t +33=0, on détermine t_f = 5{,}0 \text{ s} et v=0{,}44 \text{ m.s}^{-1}.

En résolvant l'équation y(t_f) = 1{,}40 \times t^2 - 13{,}6 \times t +33=0, on détermine t_f = 5{,}0 \text{ s} et v=-0{,}44 \text{ m.s}^{-1}.

L'atterrissage s'effectue-t-il « en douceur » ?

Oui, car la vitesse du système est inférieure à 6 \text{ m.s}^{-1}.

Non, car la vitesse du système est inférieure à 6 \text{ m.s}^{-1}.

Non, car la vitesse du système est supérieure à 6 \text{ m.s}^{-1}.

Oui, car la vitesse du système est supérieure à 6 \text{ m.s}^{-1}.