Problème complet de mécanique - TS - Exercice type bac Physique-Chimie - Kartable

Antonín PANENKA, footballeur international tchécoslovaque, est connu pour avoir laissé son nom à une technique particulière pour tirer les penaltys ou "tirs au but". Au lieu de frapper en force, il frappe doucement le ballon qui prend alors une trajectoire "en cloche". Son geste est devenu célèbre au soir de la finale de la Coupe d'Europe des Nations de 1976, où la Tchécoslovaquie battait la République Fédérale d'Allemagne tenante du titre. Antonin PANENKA marquant le dernier penalty par cette technique de balle "en cloche" venait d'inventer la "Panenka".

Lors d'un match de football, un joueur doit tirer un penalty et décide de tenter une "Panenka". Le joueur dépose le ballon au point de penalty O, pris comme origine du repère. Le joueur frappe le ballon en direction du centre du but et lui communique une vitesse initiale v₀ de valeur 11,5 m.s^-1 et dont la direction fait un angle α = 55 ° avec l'horizontale.

Données :

Intensité de la pesanteur : g = 9{,}81 N.kg^-1
Masse du ballon : m = 620 g
Termes utilisés dans la pratique du football :

Les buts

Les buts sont constitués de deux montants verticaux (poteaux) reliés en leur sommet par une barre transversale. Le bord inférieur de la barre transversale se situe à une hauteur de 2,44 m par rapport au sol.

Le penalty

Le penalty est une action consistant à frapper directement au but depuis un point nommé "point de penalty" ou "point de réparation". Un penalty est réussi si le ballon franchit la ligne de but en passant entre les montants et sous la barre transversale.

La surface de réparation

À l'intérieur de chaque surface de réparation, le point de penalty est marqué à 11,0 m du milieu de la ligne de but et à égale distance des montants verticaux du but.

Schématisation du problème

Quelle est la représentation correcte du repère orthonormé (Ox ; Oz) et faisant apparaître la situation du penalty (vecteur vitesse initiale \overrightarrow{v_0}, l'angle \alpha, la hauteur h des buts et la distance d du point de pénalty à la ligne de but), sans souci d'échelle ?

On note A le point où se situe le ballon lorsqu'il franchit la ligne de but.

Quelles conditions doivent vérifier les coordonnées (x_A ; z_A) de ce point pour que le pénalty soit réussi ?

x_A = d
0 \lt z_A \lt h

0 \lt x_A \lt d
0 \lt z_A \lt h

0 \lt x_A \lt d
z_A = h

x_A = d
z_A = h

Étude dynamique du mouvement du ballon

Dans cette partie, on étudie le mouvement du centre d'inertie G du ballon en négligeant les forces de frottement de l'air sur le ballon ainsi que la poussée d'Archimède.

Quelle est l'expression du vecteur accélération \overrightarrow{a_G} du centre d'inertie du ballon ?

\overrightarrow{a_G}=\overrightarrow{g}

\overrightarrow{a_G}=m\times \overrightarrow{g}

\overrightarrow{a_G}=-m\times \overrightarrow{g}

\overrightarrow{a_G}=-\overrightarrow{g}

Quelles sont les équations horaires x(t) et z(t) du mouvement du centre d'inertie G ?

\overrightarrow{OG}\begin{cases} x=v_{0} \times \cos\left(\alpha\right) \times t \cr \cr z=- \dfrac{1}{2}g \times t^2 + v_{0} \times \sin\left(\alpha\right) \times t \end{cases}

\overrightarrow{OG}\begin{cases} x=v_{0} \times \sin\left(\alpha\right) \times t \cr \cr z=- \dfrac{1}{2}g \times t^2 + v_{0} \times \cos\left(\alpha\right) \times t \end{cases}

\overrightarrow{OG}\begin{cases} x=v_{0} \times \cos\left(\alpha\right) \cr \cr z=- \dfrac{1}{2}g \times t + v_{0} \times \sin\left(\alpha\right) \end{cases}

\overrightarrow{OG}\begin{cases} x=v_{0} \times \sin\left(\alpha\right) \cr \cr z=- \dfrac{1}{2}g \times t + v_{0} \times \cos\left(\alpha\right) \end{cases}

Quelle est alors l'équation de la trajectoire du ballon, dans le plan (xOz) ?

z\left(t\right)=-\dfrac{g\times x^2}{2\times {v_0}^2\times {{\mathrm{\left(cos} \alpha }\right)}^2}+{\mathrm{tan} \alpha \ }\times \ x

z\left(t\right)=-\dfrac{g\times y^2}{2\times {v_0}^2\times {{\mathrm{\left(tan} \alpha }\right)}^2}+{\mathrm{cos} \alpha \ }\times \ y

z\left(t\right)=-\dfrac{g\times x}{2\times {v_0}^2\times {{\mathrm{\left(cos} \alpha \ }}^2}+{\mathrm{tan} \alpha \ }

z\left(t\right)=-\dfrac{g\times y}{2\times {v_0}^2\times {{\mathrm{\left(tan} \alpha }\right)}^2}+{\mathrm{cos} \alpha \ }

D'après les données et les documents, le penalty décrit en début d'exercice est-il réussi ?

Puisque 0 \lt z_A \lt 2{,}44 m, le ballon passe sous la barre tranversale et le penalty est réussi.

Puisque 0 \lt z_A \lt 2{,}44 m, le ballon passe sous la barre tranversale et le penalty est raté.

Puisque z_A \gt 2{,}44 m, le ballon passe au-dessus de la barre tranversale et le penalty est réussi.

Puisque z_A \gt 2{,}44 m, le ballon passe au-dessus de la barre tranversale et le penalty est raté.

Étude énergétique du mouvement du ballon

On admet que le ballon passe au niveau de la ligne de but à une hauteur z_A = h_A.

Rappeler les expressions de l'énergie cinétique Ec, de l'énergie potentielle de pesanteur Epp et de l'énergie mécanique Em. On choisira un axe vertical ascendant et une énergie potentielle de pesanteur nulle à l'origine.

Dans quelle proposition a-t-on correctement associé à chaque courbe du document 1 la forme d'énergie correspondante ?

{\boldsymbol{E}}_{\boldsymbol{c}}\boldsymbol{=}\dfrac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\times }\boldsymbol{m}\boldsymbol{\times }{\boldsymbol{v}}^{\boldsymbol{2}}, représentée par la courbe 2 car elle diminue lors de la montée puis augmente au cours de la descente.
Epp=\boldsymbol{m}\boldsymbol{\times }\boldsymbol{g}\boldsymbol{\times }\boldsymbol{z}, représentée par la courbe 3 car elle est nulle à t=0 s
E_m = E_c + E_{pp}, représentée par la courbe 1 car elle est constante.

{\boldsymbol{E}}_{\boldsymbol{c}}\boldsymbol{=}\dfrac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\times }\boldsymbol{m}\boldsymbol{\times }{\boldsymbol{v}}^{\boldsymbol{2}}, représentée par la courbe 1 car elle est constante.
Epp=\boldsymbol{m}\boldsymbol{\times }\boldsymbol{g}\boldsymbol{\times }\boldsymbol{z}, représentée par la courbe 3 car elle est nulle à t=0 s
E_m = E_c + E_{pp}, représentée par la courbe 2 car elle diminue lors de la montée puis augmente au cours de la descente.

{\boldsymbol{E}}_{\boldsymbol{c}}\boldsymbol{=}\dfrac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\times }\boldsymbol{m}\boldsymbol{\times }{\boldsymbol{v}}^{\boldsymbol{2}}, représentée par la courbe 3 car elle est nulle à t=0 s.
Epp=\boldsymbol{m}\boldsymbol{\times }\boldsymbol{g}\boldsymbol{\times }\boldsymbol{z}, représentée par la courbe 2 car elle diminue lors de la montée puis augmente au cours de la descente.
E_m = E_c + E_{pp}, représentée par la courbe 1 car elle est constante.

{\boldsymbol{E}}_{\boldsymbol{c}}\boldsymbol{=}\dfrac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\times }\boldsymbol{m}\boldsymbol{\times }{\boldsymbol{v}}^{\boldsymbol{2}}, représentée par la courbe 1 car elle est constante.
Epp=\boldsymbol{m}\boldsymbol{\times }\boldsymbol{g}\boldsymbol{\times }\boldsymbol{z}, représentée par la courbe 2 car elle diminue lors de la montée puis augmente au cours de la descente.
E_m = E_c + E_{pp}, représentée par la courbe 3 car elle est nulle à t=0 s.

D'après le document 1, quelles sont les valeurs de la hauteur h_A et de la vitesse v_A lorsque le ballon franchit la ligne de but ?

v_A = 9{,}5 m.s^-1
h_A = 2{,}1 m

v_A = 4{,}6 m.s^-1
h_A = 2{,}1 m

v_A = 9{,}5 m.s^-1
h_A = 1{,}5 m

v_A = 4{,}6 m.s^-1
h_A = 1{,}5 m

Que peut-on dire de l'énergie mécanique du ballon lors de son mouvement ? Utiliser cette caractéristique du mouvement pour retrouver la valeur v_A de la vitesse du ballon lorsqu'il franchit la ligne de but et comparer le résultat trouvé avec celui de la question 3b.

On peut vérifier que v_{A} = \sqrt{v_{0}^2 - 2 \times g \times z_{A}}, l'énergie mécanique du ballon est donc bien conservée.

On peut vérifier que v_{A} = \sqrt{v_{0}^2 + 3 \times g \times z_{A}}, l'énergie mécanique du ballon est donc bien conservée.

On peut vérifier que v_{A} \lt \sqrt{v_{0}^2 + 3 \times g \times z_{A}}, l'énergie mécanique du ballon n'est donc pas conservée.

On peut vérifier que v_{A} \lt \sqrt{v_{0}^2 - 2 \times g \times z_{A}}, l'énergie mécanique du ballon n'est donc pas conservée.