Vol d'une montgolfière, Métropole septembre 2021 - Tle - Exercice type bac Physique-Chimie

Une montgolfière est un moyen de transport aérien constitué d'une nacelle pouvant contenir des passagers.
Au-dessus de la nacelle se trouvent :

une enveloppe en nylon appelée le « ballon » dont on considère le volume constant ;
un brûleur permettant de réaliser la combustion de propane dans le dioxygène de l'air ; ce propane est stocké dans des bonbonnes transportées dans la nacelle.

De nombreuses sorties sont proposées, d'une durée moyenne d'une heure. Une voiture est contrainte de suivre au sol la montgolfière pour récupérer les passagers et le matériel lors de l'atterrissage. En effet, le lieu d'atterrissage ne peut pas être connu de façon sûre au moment du départ : il est dépendant des conditions météorologiques.

Les objectifs de cet exercice sont :

de déterminer la masse totale qu'il est possible d'embarquer dans la montgolfière ;
de trouver l'autonomie de vol maximale possible avec la montgolfière.

Source : pixabay.com

On étudie dans cet exercice une enveloppe en nylon de modèle « M-77 » de 0,1 mm d'épaisseur, de volume V = 2\ 200 \text{ m}^3, à laquelle on accroche une nacelle de modèle « C-1 », de masse m_{\text{nacelle}}=56 \space \text{kg}. La nacelle est capable d'embarquer jusqu'à trois personnes ainsi que quatre bonbonnes pesant chacune 40 kg et contenant 20 kg de propane chacune.

Données :

intensité de la pesanteur terrestre : g = 9{,}81 \text{ m$\cdot$s}^{–2} ;
surface de l'enveloppe du ballon : S = 847 \text{ m}^{2} ;
masse par unité de surface de l'enveloppe en nylon : \phi_{\text{nylon}}= 65 \text{ g.m}^{-2} ;
constante du gaz parfait : R= 8{,}314 \text{ J.mol}^{-1}\text{K}^{-1} ;
masse molaire de l'air : M_{\text{air}}= 29{,}0 \text{ g.mol}^{-1}.

1. Détermination de la masse totale qu'il est possible d'embarquer dans la montgolfière

Au cours d'un vol, la montgolfière se trouve à une altitude de 1,5 km. On considère que la pression p à l'intérieur du ballon est égale à la pression à l'extérieur du ballon. La figure 1 présente l'évolution de la pression de l'air en fonction de l'altitude. L'air est considéré comme un gaz parfait. Le brûleur n'est pas actionné au moment où on étudie le système.

Figure 1. Pression de l'air en fonction de l'altitude

Étude du système « ballon »

D'après l'équation d'état du gaz parfait, quelle est la masse volumique de l'air contenu dans le ballon \rho_{\text{int}} en fonction de la pression p, M_{\text{air}}, R et T, la température de l'air contenu dans le ballon ?

p \times V = n_{\text{air}} \times R \times T= \dfrac{\rho_{\text{int}} \times V}{M_{\text{air}}} \times R \times T \Leftrightarrow \rho_{\text{int}} = \dfrac{p \times M_{\text{air}}}{{R \times T}}

p \times V = n_{\text{air}} \times R \times T= \dfrac{M_{\text{air}} \times R \times T}{\rho_{\text{int}} \times V} \Leftrightarrow \rho_{\text{int}} = \dfrac{{R \times T}}{p \times M_{\text{air}}}

p \times V = n_{\text{air}} \times R \times T= \dfrac{\rho_{\text{int}} \times V}{M_{\text{air}}} \times R \times T \Leftrightarrow \rho_{\text{int}} = \dfrac{{R \times T}}{p \times M_{\text{air}}}

p \times V = n_{\text{air}} \times R \times T= \dfrac{M_{\text{air}} \times R \times T}{\rho_{\text{int}} \times V} \Leftrightarrow \rho_{\text{int}} = \dfrac{p \times M_{\text{air}}}{{R \times T}}

Dans quelle proposition montre-t-on que la valeur de la masse volumique de l'air contenu dans le ballon \rho_{\text{int}} lorsque le ballon est à une altitude de 1,5 km est de l'ordre de 0{,}8 \text{ kg.m}^{-3} ?

On suppose que la température de l'air à l'intérieur du ballon à l'instant où l'on étudie le système est à 373 K.

D'après la figure 1, à 1,5 km d'altitude p = 85 \ 000 \text{ Pa} et donc \rho_{\text{int}} = \dfrac{85 \ 000 \times 29{,}0.10^{-3}}{{8{,}314 \times 373}}= 0{,}795\text{ kg.m}^{-3}.

D'après la figure 1, à 1,5 km d'altitude p = 85 \ 000 \text{ Pa} et donc \rho_{\text{int}} = \dfrac{85 \ 000 \times 29{,}0}{{8{,}314 \times 373}}= 0{,}815\text{ kg.m}^{-3}.

D'après la figure 1, à 1,5 km d'altitude p = 75 \ 000 \text{ Pa} et donc \rho_{\text{int}} = \dfrac{75 \ 000 \times 29{,}0}{{8{,}314 \times 373}}= 0{,}815\text{ kg.m}^{-3}.

D'après la figure 1, à 1,5 km d'altitude p = 75 \ 000 \text{ Pa} et donc \rho_{\text{int}} = \dfrac{75 \ 000 \times 29{,}0.10^{-3}}{{8{,}314 \times 373}}= 0{,}795\text{ kg.m}^{-3}.

Étude du système « montgolfière »

On suit le déplacement du centre de masse G de la montgolfière. On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni d'un repère d'espace (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}) présenté sur la figure 2. L'origine au point O est au niveau du sol, au point de décollage de la montgolfière.

Figure 2. Système d'axes et vecteurs unitaires associés au référentiel terrestre

On considère qu'il s'exerce seulement deux forces sur le système {montgolfière} composé de la nacelle, de son chargement et du ballon :

le poids \overrightarrow{P} ;
la poussée d'Archimède qui modélise l'action de l'air sur le ballon : \overrightarrow{P_A} = \rho_{\text{ext}} \times V \times g \times \overrightarrow{k}, où \rho_{\text{ext}} représente la masse volumique de l'air extérieur et V représente le volume total de la montgolfière, dont on considère qu'il est égal au volume du ballon.

On considère que la masse d'air présente dans le ballon est constante et que la montgolfière, de masse totale m, reste immobile. À la température locale et à l'altitude du vol de 1,5 km, la masse volumique de l'air extérieur au ballon vaut 1{,}06 \text{ kg.m}^{-3} tandis que la masse volumique de l'air à l'intérieur du ballon vaut 0{,}80 \text{ kg.m}^{-3}.

Quelle est la représentation correcte des deux forces s'exerçant sur la montgolfière dans le cas où elle est immobile dans le référentiel terrestre, sans souci d'échelle en utilisant le système d'axes de la figure 2 ?

Quelles sont les expressions vectorielles du poids \overrightarrow{P} et de la poussée d'Archimède \overrightarrow{P_A} qui s'exercent sur la montgolfière ?

\overrightarrow{P}=-m \times g \times \overrightarrow{k}
\overrightarrow{P_A} =m \times g \times \overrightarrow{k}

\overrightarrow{P}=m \times g \times \overrightarrow{i}
\overrightarrow{P_A} =-m \times g \times \overrightarrow{k}

\overrightarrow{P}=-g \times \overrightarrow{k}
\overrightarrow{P_A} =g \times \overrightarrow{k}

\overrightarrow{P}=g \times \overrightarrow{k}
\overrightarrow{P_A} =-g \times \overrightarrow{i}

Par déduction, quelle est la masse totale embarquée dans la nacelle à cette altitude ?

P=P_A \Leftrightarrow m =\rho_{\text{ext}} \times V=1{,}06 \times 2 \ 200=2{,}33.10^3 \text{ kg}

P=P_A \Leftrightarrow m =\rho_{\text{ext}} \times V\times g =1{,}06 \times 2 \ 200 \times 9{,}81 =2{,}29.10^4 \text{ kg}

P=-P_A \Leftrightarrow m =-\rho_{\text{ext}} \times V\times g =-1{,}06 \times 2 \ 200 \times 9{,}81 =-2{,}29.10^4 \text{ kg}

P=-P_A \Leftrightarrow m =-\rho_{\text{ext}} \times V=-1{,}06 \times 2 \ 200=-2{,}33.10^3 \text{ kg}

2. Détermination de l'autonomie maximale de vol de la montgolfière

En réalité, la montgolfière ne reste pas à une altitude constante. Son altitude varie autour d'une altitude moyenne, au gré de l'actionnement du brûleur par le pilote. L'utilisation du brûleur est nécessaire pour maintenir une altitude moyenne constante. On considère que la montgolfière est en vol, stabilisée à une altitude moyenne de 1,5 km. La température extérieure est T_{\text{ext}} = 278 \text{ K} au cours d'un vol.
On cherche à établir le bilan énergétique entre le système {air à l'intérieur de l'enveloppe + enveloppe} et le milieu extérieur.

Quels sont les trois modes de transfert thermique ?

La conduction, la convection et le rayonnement

La conduction, la chaleur et le rayonnement

La conduction, la dispersion et le rayonnement

La conduction, la dispersion et la chaleur

La figure 3 présente les transferts thermiques qui ont lieu entre le système {ballon} et le milieu extérieur. On rappelle que le ballon représente l'enveloppe en nylon et l'air contenu à l'intérieur. En régime stationnaire, la montgolfière est en équilibre thermique.

Figure 3. Bilan de puissance du système

D'après la figure 3, quelle relation littérale peut-on établir entre les flux thermiques impliqués pour le système lorsque la montgolfière est à l'équilibre thermique ?

P_{\text{ray reçu}} + P_{\text{comb}} + P_{\text{ouverture}} + P_{\text{r}} + \Phi = 0

P_{\text{ray reçu}} - P_{\text{comb}} = P_{\text{ouverture}} -P_{\text{r}} + \Phi

P_{\text{ray reçu}} + P_{\text{comb}} = P_{\text{ouverture}} + P_{\text{r}} + \Phi

P_{\text{ray reçu}} + P_{\text{comb}} - P_{\text{ouverture}} - P_{\text{r}} + \Phi = 0

Une partie du transfert thermique a lieu sous forme de rayonnement de l'enveloppe vers le milieu extérieur.

Le calcul du flux thermique rayonné se fait grâce à la relation de Stefan-Boltzmann P_r = \epsilon \times \sigma \times S \times T^4 avec :

P_r le flux thermique rayonné ;
\epsilon le coefficient d'émissivité constant sans unité, pour l'enveloppe du ballon : \epsilon = 0{,}87 ;
\sigma la constante de Stefan : \sigma = 5{,}67.10^{-8} \text{ W.m}^{-2}\text{K}^{-4} ;
S la surface de l'enveloppe ;
T la température de surface de l'enveloppe en K.

De plus, les mouvements de l'air extérieur le long de l'enveloppe sont à l'origine d'un flux thermique transféré vers l'extérieur par un phénomène de conducto-convection que l'on peut calculer grâce à la relation suivante : \Phi = \dfrac{\Delta T}{R_{\text{th}}}.

\Phi représente le flux thermique perdu par le système par conducto-convection en W ;
\Delta T représente la différence de température entre l'enveloppe et le milieu extérieur en K ;
R_{\text{th}} représente la résistance thermique associée au flux thermique entre l'enveloppe et le milieu extérieur : R_{\text{th}}=3{,}5.10^{-4} \text{ K.W}^{-1}

D'après l'étude, dans ces conditions, la température de l'enveloppe vaut T = 325 \text{ K}, température
intermédiaire entre celle de l'air à l'intérieur du ballon et celle de l'air à l'extérieur du ballon.

Quelle est la valeur du flux thermique par rayonnement P_r émis par l'enveloppe vers le milieu extérieur ?

P_r = -\epsilon \times \sigma \times S \times T^4= -0{,}87 \times 5{,}67.10^{-8} \times 847\times (325)^4 = -4{,}7.10^5 \text{ W}

P_r = \epsilon \times \sigma \times S \times T^4= 0{,}87 \times 5{,}67.10^{-8} \times 847\times (325)^4 = 4{,}7.10^5 \text{ W}

P_r = -\epsilon \times \sigma \times S \times T^4= -0{,}87 \times 5{,}67.10^{-8} \times 847\times (325)^4 = -7{,}4.10^6 \text{ W}

P_r = \epsilon \times \sigma \times S \times T^4= 0{,}87 \times 5{,}67.10^{-8} \times 847\times (325)^4 = 7{,}4.10^6 \text{ W}

Quelle est la valeur du flux conducto-convectif \Phi ?

\Phi=\dfrac{\Delta T}{R_{\text{th}}}=\dfrac{278-325}{3{,}5.10^{-4}}= -1{,}3.10^5 \text{ W}

\Phi=\dfrac{\Delta T}{R_{\text{th}}}=\dfrac{325-278}{3{,}5.10^{-4}}= 1{,}3.10^5 \text{ W}

\Phi=\dfrac{\Delta T}{R_{\text{th}}}=\dfrac{325-278}{3{,}5.10^{-4}}= 2{,}6.10^4 \text{ W}

\Phi=\dfrac{\Delta T}{R_{\text{th}}}=\dfrac{278-325}{3{,}5.10^{-4}}= -2{,}6.10^4 \text{ W}

Dans quelle proposition en déduit-on correctement que la valeur du flux thermique P_{\text{comb}} associé à la combustion du propane en régime de croisière est de l'ordre de 4.10^5 \text{ W} ?

P_{\text{comb}} = -P_{\text{ray reçu}} - P_{\text{ouverture}} - P_{\text{r}} - \Phi = -1{,}9.10^5 +1{,}8.10^4 + 4{,}7.10^5+1{,}3.10^5 = 4{,}3.10^5 \text{ W}

P_{\text{comb}} = P_{\text{ray reçu}} + P_{\text{ouverture}} + P_{\text{r}} + \Phi = 1{,}9.10^5 +1{,}8.10^4 + 4{,}7.10^5+1{,}3.10^5 = 8{,}6.10^5 \text{ W}

P_{\text{comb}} = -P_{\text{ray reçu}} - P_{\text{ouverture}} - P_{\text{r}} - \Phi = 1{,}9.10^5 -1{,}8.10^4 - 4{,}7.10^5-1{,}3.10^5 = 4{,}3.10^5 \text{ W}

P_{\text{comb}} = P_{\text{ray reçu}} + P_{\text{ouverture}} - P_{\text{r}} - \Phi = 1{,}9.10^5 +1{,}8.10^4 - 4{,}7.10^5-1{,}3.10^5 = 8{,}6.10^5 \text{ W}

Figure 4. Débit de sortie du propane du brûleur en fonction du temps

Le flux thermique associé à la combustion du propane n'est pas libéré de façon continue. En effet, la combustion du propane n'a lieu que lorsque le brûleur fonctionne. L'énergie de combustion massique du propane est : E_{\text{comb}} = 46{,}4 \text{ MJ.kg}^{–1}.

Le pilote actionne le brûleur pendant une durée \tau selon le fonctionnement décrit sur la figure 4.

Lorsque le brûleur est en fonctionnement, 68 g de propane sont brûlés chaque seconde.

Dans quelle proposition montre-t-on que le flux thermique associé à la combustion du propane lorsque le brûleur est en fonctionnement est de l'ordre de 3.10^6 \text{ W} ?

P'_{\text{comb}} = \dfrac{E'_{\text{comb}}}{\tau} = \dfrac{E_{\text{comb}} \times m_{\text{prop}}}{\tau} = \dfrac{46{,}4.10^6 \times136.10^{-3}}{2{,}0} =3{,}2.10^{6} \text{ W}

P'_{\text{comb}} = \dfrac{\tau}{E'_{\text{comb}}} = \dfrac{\tau}{E_{\text{comb}} \times m_{\text{prop}}} = \dfrac{2{,}0}{46{,}4.10^6 \times136} =3{,}2.10^{-9} \text{ W}

P'_{\text{comb}} = \dfrac{\tau}{E'_{\text{comb}}} = \dfrac{\tau}{E_{\text{comb}} \times m_{\text{prop}}} = \dfrac{2{,}0}{46{,}4.10^6 \times136.10^{-3}} =3{,}2.10^{-6} \text{ W}

P'_{\text{comb}} = \dfrac{E'_{\text{comb}}}{\tau} = \dfrac{E_{\text{comb}} \times m_{\text{prop}}}{\tau} = \dfrac{46{,}4.10^6 \times136}{2{,}0} =3{,}2.10^{9} \text{ W}

Dans les conditions de l'étude, quelle est la durée maximale de vol qu'il est possible de réaliser à l'aide du propane embarqué dans la montgolfière ? Commenter.

\Delta t = \dfrac{80 \times 20}{0{,}136}=1{,}18.10^4 \text{ s} = 3 \text{ h } 16 \text{ min}

\Delta t = \dfrac{80 \times 20}{0{,}136}=1{,}18.10^4 \text{ s} = 1 \text{ h } 18 \text{ min}

\Delta t = \dfrac{0{,}136}{80 \times 20}=1{,}18.10^4 \text{ s} = 3 \text{ h } 16 \text{ min}

\Delta t = \dfrac{0{,}136}{80 \times 20}=1{,}18.10^4 \text{ s} = 1 \text{ h } 18 \text{ min}