Sommaire
1Rappeler la loi de refroidissement de Newton 2Repérer les données 3Convertir, éventuellement, les données 4Effectuer l'application numériqueEn effectuant un bilan d'énergie pour un système incompressible, la loi de refroidissement de Newton permet de déterminer la température d'un système après une certaine durée à partir de sa température initiale.
Soit un corps initialement à la température de 100 °C qui se refroidit dans l'air ambiant qui est à la température de 20 °C. Sachant que dans cette situation la constante de proportionnalité est k = 5{,}2 \times 10^{-3} \text{ s}^{-1}, calculer la température atteinte par le corps au bout de 7 minutes.
Rappeler la loi de refroidissement de Newton
On rappelle la loi de refroidissement de Newton.
La loi de refroidissement de Newton indique que la vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à la différence entre la température T de ce corps à l'instant t et la température extérieure T_{\text{ext}}, supposée constante (les températures devant être exprimées avec les mêmes unités) :
{\frac {dT(t)}{dt}}=-k_{\text{(s}^{-1})} \times(T-T_{\mathrm {ext} })
Où k est un coefficient de proportionnalité qui dépend notamment de la surface S de contact entre le corps et le milieu extérieur.
On peut en déduire la température à un instant t, après refroidissement du corps :
T(t)=T_{\mathrm {ext} }+(T(0)-T_{\mathrm {ext} })\times e^{-k_{\text{(s}^{-1})} \times t_{\text{(s)}}}
Repérer les données
On repère les données de l'énoncé et on les identifie.
Ici, l'énoncé donne :
- la température initiale du corps : T(0) =100 \text{ °C} ;
- la température extérieure : T_{\text{ext}} =20 \text{ °C} ;
- le coefficient de proportionnalité : k = 5{,}2 \times 10^{-3} \text{ s}^{-1} ;
- la durée écoulée : t =7 \text{ min}.
Convertir, éventuellement, les données
Le cas échéant, on convertir les données afin que :
- les températures soient exprimées avec la même unité ;
- la durée ait une unité correspondant à l'unité inverse de celle de la constante de proportionnalité.
Ici :
- les températures sont bien exprimées avec la même unité (\text{°C}) ;
- la constante de proportionnalité est en \text{ s}^{-1} et la durée est en \text{min}.
Il faut donc convertir la durée en secondes :
t =7 \text{ min} = 7 \times 60 \text{ s}
(Il est inutile d'effectuer l'application numérique ici.)
Effectuer l'application numérique
On effectue l'application numérique, la température obtenue étant exprimée avec la même unité que les autres températures.
On a donc :
T(t)=T_{\mathrm {ext} }+(T(0)-T_{\mathrm {ext} })\times e^{-k_{\text{(s}^{-1})} \times t_{\text{(s)}}}
T(7 \text{ min})=20+(100-20)\times e^{-5{,}2 \times 10^{-3} \times 7 \times 60}
T(7 \text{ min})=29 \text{ °C}
La température atteinte par ce corps au bout de 7 minutes est donc de 29 °C.