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Calculer les fréquences d'une gamme de Pythagore

La gamme de Pythagore correspond à des notes obtenues par des cordes vibrantes dont les rapports de longueurs, égaux à \(\displaystyle{\dfrac{3}{2}}\), sont considérés harmonieux. Ces notes, dont les rapports de fréquence sont aussi de \(\displaystyle{\dfrac{3}{2}}\), forment des quintes.

Il est possible, par quintes successives (montantes et descendantes), de retrouver les fréquences des notes constituant 7 notes consécutives, soit une octave.

Construire une octave de la gamme de Pythagore à partir du Do de fréquence 100 Hz.

Etape 1

Repérer la fréquence de base

On repère la fréquence de base, qui servira pour établir la gamme de fréquence de Pythagore. Elle est donnée dans l'énoncé et s'exprime en Hz.

La fréquence de base est :

\(\displaystyle{f_1=100}\) Hz

Etape 2

Établir les notes par quintes montantes

Pour déterminer les autres notes de la gamme par quintes montantes :

  • On multiplie la note précédente par 1,5.
  • On divise par 2 si le résultat dépasse le doublement de la fréquence de base.

On procède ainsi pour chaque note obtenue. On arrête dès que l'on obtient deux notes relativement proches.

On établit les autres notes de la gamme par quintes montantes, en multipliant la note de base par \(\displaystyle{\dfrac{3}{2}}\) et en divisant par 2 si le résultat dépasse le doublement de la fréquence de base :

  • \(\displaystyle{f_2=f_1\times1,5=150}\) Hz
  • \(\displaystyle{f_3=\dfrac{\left(f_2\times1,5\right)}{2}=\dfrac{150\times1,5}{2}=112,5}\) Hz
  • \(\displaystyle{f_4=f_3\times1,5=112,5\times1,5=168,8}\) Hz
  • \(\displaystyle{f_5=\dfrac{\left(f_4\times1,5\right)}{2}=\dfrac{168,8\times1,5}{2}=126,6}\) Hz
  • \(\displaystyle{f_6=f_5\times1,5=189,9}\) Hz
Etape 3

Établir les notes par quintes descendantes

On établit les autres notes de la gamme par quintes descendantes, en divisant la note de base par 1,5 et en multipliant par 2 si le résultat est inférieur à la fréquence de base. On arrête dès que l'on obtient deux notes relativement proches.

On établit les autres notes de la gamme par quintes descendantes, en divisant la note de base par \(\displaystyle{\dfrac{3}{2}}\) et en multipliant par 2 si le résultat est inférieur à la fréquence de base. On procède ainsi pour chaque note obtenue, soit :

\(\displaystyle{f_7=\dfrac{f_1}{1,5}\times2=\dfrac{100}{1,5}\times2=133,3}\) Hz

Etape 4

Conclure en donnant la gamme de Pythagore

On conclut en donnant les sept notes de la gamme de Pythagore.

Les sept notes constituant la gamme de Pythagore à partir du Do de fréquence 100 Hz sont :

  • Do : \(\displaystyle{f=100}\) Hz
  • Ré : \(\displaystyle{f=112,5}\) Hz
  • Mi : \(\displaystyle{f=126,6}\) Hz
  • Fa : \(\displaystyle{f=133,3}\) Hz
  • Sol : \(\displaystyle{f=150}\) Hz
  • La : \(\displaystyle{f=168,8}\) Hz
  • Si : \(\displaystyle{f=189,9}\) Hz