L'orgue marin de Blackpool
L'orgue marin de Blackpool (station balnéaire située au nord de Manchester en Angleterre) est une sculpture musicale de 15,0 mètres de haut, construite en 2002, et dont l'auteur a voulu qu'elle soit une "manifestation musicale de la mer".
La houle à marée haute pousse l'air dans des tuyaux placés dans la digue face à la mer, ce qui fait alors sonner dix-huit tuyaux d'orgue ouverts aux deux extrémités.
Les longueurs des tuyaux d'orgue sont choisies pour jouer une série harmonique en si bémol.
Sur le panneau explicatif placé au pied de la structure, on peut lire :
"La note jouée la plus basse est un si bémol (notée Si b) ; la hauteur de la deuxième note jouée est le double de celle de la première, la hauteur de la troisième est le triple de la hauteur de la première et ainsi de suite…"
Schéma de fonctionnement de l'orgue marin de Blackpool (vue en coupe)Remarque importante : ce schéma n'est pas à l'échelle.
Températures moyennes dans la ville de Blackpool
(D'après http://www.weatheronline.co.uk/)
Fréquences (en Hz) des notes des six premières octaves
| Octave | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Do | 16.4 | 32.7 | 65.4 | 130.8 | 261.6 | 523.3 |
| Do # | 17.3 | 34.6 | 69.3 | 138.6 | 277.2 | 554.4 |
| Ré | 18.4 | 36.7 | 73.4 | 146.8 | 293.7 | 587.3 |
| Mi b | 19.4 | 38.9 | 77.8 | 155.6 | 311.1 | 622.3 |
| Mi | 20.6 | 41.2 | 82.4 | 164.8 | 329.6 | 659.3 |
| Fa | 21.8 | 43.7 | 87.3 | 174.6 | 3492 | 698.5 |
| Fa # | 23.1 | 46.2 | 92.5 | 185.0 | 370.0 | 740.0 |
| Sol | 24.5 | 49.0 | 98.0 | 196.0 | 3920 | 784.0 |
| Sol # | 26.0 | 51.9 | 103.8 | 207.7 | 415.3 | 830.6 |
| La | 27.5 | 55.0 | 110.0 | 220.0 | 440.0 | 880.0 |
| Si b | 29.1 | 58.3 | 116.5 | 233.1 | 466.2 | 32.3 |
| Si | 30.9 | 61.7 | 123.5 | 246.9 | 493.9 | 987.8 |
Fréquence fondamentale d'un tuyau d'orgue
Pour un tuyau d'orgue ouvert aux deux extrémités, la longueur L (en m) du tuyau et la fréquence f (en Hz) du son émis sont liées par la relation :
L = \dfrac{v_{son}}{2 \times f}
Vitesse du son dans l'air
La vitesse vson (en m.s-1) du son dans l'air dépend de la température \theta (en °C) de l'air suivant la relation :
v_{son} = 331{,}5 + 0{,}607 \times \theta
Plan à l'échelle de l'orgue marin de Blackpool (vue de profil)
Remarque : seuls les trois plus grands tuyaux d'orgue sur les dix-huit au total sont représentés sur le schéma.
Parmi les trois tuyaux représentés sur le plan à l'échelle de l'orgue du document 1, lequel joue la note la plus grave ?
On sait que la fréquence, la longueur du tuyau d'orgue et la vitesse du son sont reliées par la relation :
f = \dfrac{v_{son}}{2 \times L}
Or, plus un son est grave, plus sa fréquence f est faible et donc d'après la relation précédente, plus la longueur du tuyau L est grande.
Le son le plus grave sera émis par le tuyau d'orgue le plus long.
On mesure le tuyau le plus long sur le schéma (celui situé le plus bas) : 4,4 cm sur le plan à l'échelle
22,8 cm sur le plan ↔ 15,0 m en réalité
4,4 cm sur le plan ↔ f = \dfrac{4{,}4\times 15}{22{,}8}= 2{,}9 m
Le tuyau du bas le plus long mesurant 2,9 m est celui qui joue la note la plus grave.
Problème : à l'aide des informations données par les différents documents, vérifier la phrase inscrite sur le panneau explicatif (en gras dans le texte introductif).
Cette phrase est-elle vraie tout au long de l'année ?
On détermine la note la plus basse jouée à partir de la relation :
L= \dfrac{v_{son}}{2 \times f}
Soit f = \dfrac{v_{son}}{2 \times L}
Pour que la note jouée soit la plus grave possible, il faut que la fréquence soit la plus petite possible et donc que la vitesse du son le soit aussi. On utilise le tuyau du bas le plus long mesurant 2,9 m pour qu'il joue la note la plus grave.
Or, la vitesse du son dans l'air dépend de la température :
v_{son}= 331{,}1 + 0{,}607 \times \theta
- Cas où la température est la plus faible :
On sait que la température moyenne est la plus basse au mois de février à Blackpool et vaut 3,8°C environ.
On a alors : v_{son}= 331{,}1 + 0{,}607 \times 3{,}8 = 334 m.s-1.
D'où,
f = \dfrac{v_{son}}{2 \times L}
f = \dfrac{334}{2 \times 2{,}9}
f= 58{,}1 Hz
Or, le si bémol de l'octave 0 a une fréquence égale à 58,3 Hz (fréquence très voisine de la fréquence calculée).
- Cas où la température est la plus élevée :
On sait que la température moyenne est la plus élevée au mois de juillet et août à Blackpool et vaut 15°C environ.
On a alors : v_{son}= 331{,}1 + 0{,}607 \times 15 = 341 m.s-1
D'où :
f = \dfrac{v_{son}}{2 \times L}
f = \dfrac{341}{2 \times 2{,}9}
f= 59{,}4 Hz
Or, le si bémol de l'octave 0 a une fréquence égale à 58,3 Hz (fréquence la aussi voisine de la fréquence calculée).
Les fréquences obtenues par le calcul diffèrent peu selon la température. Le début de la phrase est vrai tout au long de l'année.
Pour la suite du raisonnement, on se placera à la température de 3,8°C soit : v_{son}= 334 m.s-1
Même raisonnement pour les deux autres tuyaux :
Deuxième vérification : la hauteur de la 2e note jouée est le double de celle de la première.
On détermine la longueur du tuyau du haut à une longueur qui est la moitié du premier (2,2 cm sur le schéma) : 1,4 m
D'où :
f = \dfrac{v_{son}}{2 \times L}
f = \dfrac{334}{2 \times 1{,}4}
f= 119 Hz
Cette fréquence obtenue est environ égale à deux fois la fréquence précédente. Le deuxième point de la phrase est donc vérifié.
Troisième vérification : La hauteur de la 3e note jouée est le triple de celle de la première
On détermine la longueur du tuyau du haut à une longueur qui correspond au tiers du premier (1,5 cm sur le schéma) : 1,0 m
D'où :
f = \dfrac{v_{son}}{2 \times L}
f = \dfrac{334}{2 \times 1{,}0}
f= 174 Hz
Cette fréquence obtenue est environ égale à trois fois la fréquence précédente. Le troisième point de la phrase est donc vérifié.
La phrase inscrite sur le panneau explicatif est vérifiée et vraie tout au long de l'année.