Un train de masse m = 87\ 100 kg roule à une vitesse v. On néglige tous les frottements entre le train et les rails.
Quelle est la valeur de l'énergie cinétique à l'état initial, c'est-à-dire lorsque le train s'apprête à démarrer ?
Lorsque le train s'apprête à démarrer, sa vitesse est nulle. Il en résulte que son énergie cinétique E_c est nulle.
On suppose que le train roule à une altitude nulle à la vitesse v = 134 km/h.
Quelle est sa vitesse en m/s ?
Il s'agit de convertir la vitesse du km/h en m/s.
On sait que 1 m/s = 3,6 km/h
Donc :
134 km/h = \dfrac{134}{3{,}6} = 37{,}3 m/s
La vitesse est de 37,3 m/s.
Quelle est la valeur de l'énergie cinétique du train ?
La valeur de l'énergie cinétique du train se calcule par la formule suivante :
E_{cinétique-train} = \dfrac{1}{2} \times m_{train} \times v^2_{train}
E_{cinétique-train} = \dfrac{1}{2} \times 87\ 100 \times 37{,}3^2
E_{cinétique-train} = 40 416 899 J
On convertit :
E_{cinétique-train} = 40 417 kJ
L'énergie cinétique de train vaut 40 417 kJ.
Par déduction, quelle est la valeur de l'énergie mécanique du train au cours de son mouvement ?
L'énergie mécanique du train est la somme de son énergie de position et de son énergie cinétique.
L'altitude du train est supposée nulle et constante. Son énergie de position est donc nulle.
L'énergie mécanique du train est donc l'énergie cinétique du train.
La valeur de l'énergie mécanique du train est de 40 417 kJ.
Le train monte une pente, et roule à présent à une altitude z = 23 m.
Si l'on néglige les pertes d'énergie par frottement, quelle est la valeur de l'énergie cinétique du train ?
On néglige les frottements lors du mouvement du train, on peut donc en déduire que l'énergie mécanique du train est constante au cours du mouvement. Elle a donc la même valeur à l'altitude nulle et à l'altitude z = 23 m.
On sait que :
E_{mécanique} = E_{position} + E_{cinétique}
Donc :
E_{cinétique} = E_{mécanique} - E_{position}
Or :
E_{position} = m_{train} \times g \times z_{train}
Donc :
E_{cinétique} = E_{mécanique} - m_{train} \times g \times z_{train}
On effectue l'application numérique :
E_{cinétique} = 40 416 899 - 87\ 100 \times 9{,}81 \times 23
E_{cinétique} = 20 764 526 J = 20 765 kJ
L'énergie cinétique du train vaut alors 20 765 kJ.
Quelle est alors la valeur de la vitesse du train ?
On sait que :
E_{cinétique} = \dfrac{1}{2} \times m_{train} \times v^2_{train}
Donc :
v^2_{train} = \dfrac{2 E_{cinétique}}{m_{train}}
Et, comme la vitesse est positive :
v_{train} = \sqrt{\dfrac{2 E_{cinétique}}{m_{train}}}
On effectue l'application numérique :
v_{train} = \sqrt{\dfrac{2 \times 40 416 899}{87\ 100}}
v_{train} = 30{,}5 m/s
La vitesse du train vaut alors 30,5 m/s.