Des élèves jettent des bombes à eau du dernier étage de leur lycée, à 22,0 m du sol. Chacune pèse 140 g et on néglige les forces de frottement.
Quelle est la valeur de l'énergie mécanique initiale de la bombe à eau si elle est jetée avec une vitesse de 4,5 m.s-1 ?
Mise en place du problème
L'expression générale permettant de déterminer l'énergie mécanique d'un corps s'exprime :
E_{m} = E_{c} + E_{p}
Avec :
- E_m, l'énergie mécanique en Joules (J)
- E_c, l'énergie cinétique en Joules (J)
- E_p, l'énergie potentielle en Joules (J)
Comme l'objet, à l'instant initial t_0, a une vitesse et se trouve à une altitude non nulle, les deux formes d'énergie, cinétique et potentielle, existent.
Détermination de l'énergie cinétique
L'expression générale permettant de déterminer l'énergie cinétique d'un corps s'exprime :
E_{c} = \dfrac{1}{2} \times m \times v^{2}
Avec :
- m, la masse du corps en kilogrammes (kg)
- v, la vitesse du corps en mètres par seconde (m/s)
- E_c, l'énergie cinétique en Joules (J)
En faisant l'application numérique, on trouve qu'à t_0 :
E_{c_{0}} = \dfrac{1}{2} \times 0{,}140 \times 4{,}5^{2}
E_{c_{0}} = 1{,}4 J
Détermination de l'énergie potentielle
L'expression générale permettant de déterminer l'énergie potentielle de pesanteur d'un corps s'exprime :
E_{p} = m \times g \times z
Avec :
- m, la masse du corps en kilogrammes (kg)
- g, la constante de gravitation ou champ de pesanteur terrestre (N/kg ou m.s-2)
- z, l'altitude du centre d'inertie de l'objet en mètres (m)
- E_p, l'énergie potentielle en Joules (J)
En faisant l'application numérique, on trouve qu'à t_0 :
E_{p_{0}} = 0{,}140 \times 9{,}81 \times 22{,}0
E_{p_{0}} = 30{,}2 J
Détermination de l'énergie mécanique
L'expression générale permettant de déterminer l'énergie mécanique d'un corps s'exprimant :
E_{m} = E_{c} + E_{p}
On en déduit que, dans le cas présent, elle vaut :
E_{m_{0}} = E_{c_{0}} + E_{p_{0}}
E_{m_{0}} = 1{,}4 +30{,}2
E_{m_{0}} = 31{,}6 J
Quelle sera l'évolution de l'énergie mécanique au cours de la chute ?
Pour déterminer si l'énergie mécanique d'un système se conserve ou non, il faut lui appliquer le principe de conservation de l'énergie.
D'après ce principe, un système est isolé si aucun transfert d'énergie n'est possible entre le système et le milieu extérieur.
L'énergie de ce système isolé ne peut être ni détruite, ni créée : elle se conserve.
Il peut néanmoins se produire des transferts d'énergie à l'intérieur du système isolé mais l'énergie totale du système restera la même.
L'énergie mécanique demeure donc constante en l'absence de forces non conservatives, extérieures au système, telles que les frottements.
Par déduction, quelle est la valeur de la vitesse de la bombe à eau en arrivant au sol ?
Détermination de l'énergie cinétique
L'expression générale permettant de déterminer l'énergie mécanique d'un corps s'exprime :
E_{m} = E_{c} + E_{p}
L'énergie mécanique se conservant, on a donc :
E_{m_{1}} = E_{m_{0}}
E_{c_{1}} + E_{p_{1}} = E_{m_{0}}
Or, lorsque la bombe à eau atteint le sol, son altitude z est nulle. On en déduit que l'énergie potentielle associée, E_{p_1} , est également nulle. On a donc :
E_{c_{1}} = E_{m_{0}}
E_{c_{1}} = 31{,}6 J
Détermination de la vitesse
L'expression générale permettant de déterminer l'énergie cinétique d'un corps s'exprime :
E_{c} = \dfrac{1}{2} \times m \times v^{2}
Avec :
- m, la masse du corps en kilogrammes (kg)
- v, la vitesse du corps en mètres par seconde (m/s)
- E_c, l'énergie cinétique en Joules (J)
On en déduit donc l'expression permettant de déterminer la vitesse atteinte par la bombe lorsqu'elle touche le sol (on néglige la vitesse horizontale, inchangée en l'absence de frottement) :
v_{1} = \sqrt{\dfrac{2 \times E_{c_{1}}}{m}}
Soit en faisant l'application numérique :
v_{1} = \sqrt{\dfrac{2 \times 31{,}6}{0{,}140}}
v_{1} = 21{,}2 m.s-1
Lorsque la bombe à eau atteint le sol, sa vitesse est de 21,2 m.s-1.