Un mobile autoporteur, de masse m=600 g, glisse en translation sur une table horizontale sans frottement. Il est animé d'une vitesse de valeur v =1{,}40 m.s-1 jusqu'à la date t=0 où il heurte l'extrémité libre d'un ressort, en x=0. L'autre extrémité du ressort est attachée à une paroi fixe.
Quelle est l'énergie cinétique du mobile à l'instant t=0 ?
L'expression générale permettant de déterminer l'énergie cinétique d'un corps s'exprime :
E_{c} = \dfrac{1}{2} \times m \times v^{2}
Avec :
- m, la masse du corps en kilogrammes (kg)
- v, la vitesse du corps en mètres par seconde (m/s)
- E_c, l'énergie cinétique en Joules (J)
Le mobile de masse m glisse en translation sur une table horizontale sans frottement.
Il est animé d'une vitesse constante de valeur v_0 jusqu'à la date t = 0 et son énergie cinétique vaut donc :
E_{c_0} = \dfrac{1}{2} \times 0{,}600 \times 1{,}40^{2}
E_{c_0} = 0{,}588 J
L'énergie cinétique du mobile à l'instant t=0 est de 588 mJ.
Que peut-on dire de l'évolution de l'énergie potentielle de pesanteur lors de ce mouvement ?
L'expression générale permettant de déterminer l'énergie potentielle de pesanteur d'un corps s'exprime :
E_{p} = m \times g \times z
Avec :
- m, la masse du corps en kilogrammes (kg)
- g, la constante de gravitation ou champ de pesanteur terrestre (N/kg ou m.s-2)
- z, l'altitude du centre d'inertie de l'objet en mètre (m)
- E_p, l'énergie potentielle en Joules (J)
Étant donné que le mobile de masse m glisse en translation sur une table horizontale sans frottement, z ne varie pas donc l'énergie potentielle non plus (m et g sont des constantes).
À la suite de l'entrée en contact de la masse avec le ressort, ce dernier se comprime. L'énergie stockée dans le ressort comprimé a pour expression E_{pe} = \dfrac{1}{2} \times k \times \Delta x ^{2}, avec \Delta x = x_0 - x_{m} ( E_{pe} exprimée en Joules, x en mètres).
Quelle est la valeur de l'abscisse x_m atteinte par la masse à t_1 ?
Donnée : k = 45{,}0 N.m-1
L'énergie stockée dans le ressort comprimé a pour expression :
E_{pe} = \dfrac{1}{2} \times k \times \Delta x ^{2}
Avec :
\Delta x = x_{0} - x_{m}
Or x_{0} = 0, donc :
\Delta x = - x_{m}
On détermine donc \Delta x = - x_{m} en réarrangeant l'équation définissant l'énergie potentielle élastique :
\dfrac{2 \times E_{pe}}{k} = \Delta x ^{2}
Comme le ressort est comprimé, on a x_m\lt0. Ainsi :
x_{m} = -\sqrt{\dfrac{2 \times E_{pe}}{k}}
Soit en faisant l'application numérique :
x_{m} = -\sqrt{\dfrac{2 \times 573 \times 10^{-3}}{45{,}0}}
x_{m} = -0{,}160 m
L'abscisse x_m atteinte par la masse à t_1 est de -16,0 cm.
Le ressort se détend ensuite à nouveau jusqu'à reprendre sa longueur initiale. L'interaction solide-ressort cesse alors.
Quelles sont les caractéristiques de la vitesse \overrightarrow{v} du mobile lorsque cesse l'interaction solide-ressort ?
On supposera que le ressort est parfait et qu'il restitue toute l'énergie accumulée lors de sa compression.
Comme le ressort est supposé parfait et qu'il restitue toute l'énergie accumulée lors de sa compression, cela signifie que l'énergie cinétique du mobile est la même qu'initialement :
E_{c} = 0{,}588 J
On en déduit qu'il en va de même pour la valeur de la vitesse :
v= 1{,}40 m.s-1
En revanche, si la direction du vecteur vitesse est inchangée, son sens, lui, est l'opposé de celui d'avant t=0 et est désormais le même que celui de l'axe des x.
Les caractéristiques du vecteur vitesse \overrightarrow{v} sont :
- Norme : v=1{,}40 m.s-1
- Direction : parallèle à l'axe des x
- Sens : vers les x croissants