Etudier le saut d'un parachutiste Problème

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Dernière modification : 01/10/2020 - Conforme au programme 2018-2019

Un parachutiste de 70,0 kg saute d'un avion à une altitude de 5500 m à un instant t_0.

On rappelle la valeur du champ de pesanteur terrestre : g = 9{,}81 N.kg^-1.

Lorsque son parachute est fermé, on néglige les frottements qui s'exercent sur le parachutiste.

Quel est l'inventaire correct des forces qui s'exercent sur le parachutiste ?

Le parachutiste est soumis uniquement à son poids.

Le parachutiste est soumis à son poids et aux frottements exercé par l'air.

Le parachutiste est soumis à son poids et à la réaction su sol.

Le parachutiste est soumis uniquement à la poussée d'Archimède exercée par l'air.

Le parachute est fermé et les frottements de sont négligés. Le parachutiste est donc soumis uniquement à son poids.

La seule force s'exerçant sur le parachutiste dans les conditions de l'énoncé est le poids.

Comment son énergie mécanique va-t-elle évoluer ?

Elle se conserve car le parachutiste est soumis uniquement à son poids.

Elle diminue car le parachutiste est soumis uniquement à son poids.

Elle se conserve car les frottements exercés par l'air compensent le poids du parachutiste.

Elle diminue car les frottements exercés par l'air sont supérieurs au poids du parachutiste.

Le parachutiste n'étant soumis qu'à son poids, son énergie mécanique se conserve.

Quelle est la valeur de son énergie mécanique initiale ?

E_{m_{0}} = E_{c_{0}} + E_{p_{0}} = 0 + m \times g \times z = 70{,}0 \times 9{,}81 \times 5\ 500 = 3{,}78 \times 10^{6} J

E_{m_{0}} = E_{c_{0}} + E_{p_{0}} = \dfrac{1}{2} \times m \times v^2 + m \times g \times z = \dfrac{1}{2} \times 70{,}0 \times 10{,}5^2 + 70{,}0 \times 9{,}81 \times 5\ 500 = 2{,}75 \times 10^{7} J

E_{m_{0}} = E_{c_{0}} + E_{p_{0}} = 0 +\dfrac{1}{2} \times m \times g \times z^2 = \dfrac{1}{2} \times 70{,}0 \times 9{,}81 \times 5\ 500^2 = 5{,}35 \times 10^{6} J

E_{m_{0}} = E_{c_{0}} + E_{p_{0}} = m \times v +\dfrac{1}{2} \times m \times g \times z^2 = 70{,}0 \times 9{,}81 \times 10{,}5 + \dfrac{1}{2} \times 70{,}0 \times 9{,}81 \times 5\ 500^2 = 6{,}77 \times 10^{7} J

Etape 1

Mise en place du problème

L'expression générale permettant de déterminer l'énergie mécanique d'un corps s'exprime :

E_{m} = E_{c} + E_{p}

Avec :

E_m, l'énergie mécanique en Joules (J)
E_c, l'énergie cinétique en Joules (J)
E_p, l'énergie potentielle en Joules (J)

Or l'énergie cinétique dépend de la vitesse et celle-ci est nulle au moment où le parachutiste se lance. L'expression de l'énergie mécanique se résume donc à celle de l'énergie potentielle.

Etape 2

Détermination de l'énergie potentielle et mécanique

L'expression générale permettant de déterminer l'énergie potentielle de pesanteur d'un corps s'exprime :

E_{p} = m \times g \times z

Avec :

m, la masse du corps en kilogrammes (kg)
g, la constante de gravitation ou champ de pesanteur terrestre (N/kg ou m.s^-2)
z, l'altitude du centre d'inertie de l'objet en mètres (m)
E_p, l'énergie potentielle en Joules (J)

En faisant l'application numérique, on trouve qu'à t_0 :

E_{p_{0}} = 70{,}0 \times 9{,}81 \times 5\ 500

E_{p_{0}} = 3{,}78 \times 10^{6} J

Donc :

E_{m_{0}} = 3{,}78 \times 10^{6} J

L'énergie mécanique à t_0 est E_{m_{0}} = E_{p_{0}} = m \times g \times z=3{,}78 \times 10^{6} Joules.

Le parachutiste ouvre son parachute à 1600 m d'altitude à l'instant t_1.

Quelle est la vitesse qu'il a alors déjà atteinte ?

277 m.s⁻¹

31,7 m.s⁻¹

144 m.s⁻¹

4,89 m.s⁻¹

Etape 1

Mise en place du problème

L'énergie mécanique du système se conserve (donc E_{m_{0}} = E_{m_{1}} ) et a pour expression :

E_{m} = E_{c} + E_{p}

Or, désormais, la vitesse du parachutiste n'étant plus nulle, celui-ci a une énergie cinétique. On a donc l'égalité suivante :

E_{m_{0}} = E_{m_{1}}

E_{m_{0}} = E_{c_{1}} + E_{p_{1}}

Pour déterminer la vitesse du parachutiste, il faut donc dans un premier temps déterminer E_{c_{1}} pour ensuite en déduire v_1.

Etape 2

Détermination de l'énergie cinétique

On a :

E_{m_{0}} = E_{c_{1}} + E_{p_{1}}

Donc on en déduit :

E_{c_{1}} = E_{m_{0}} - E_{p_{1}}

Or si E_{m_{0}} est déjà connue, il faut d'abord déterminer E_{p_{1}} avant de pouvoir calculer l'énergie cinétique à t_1 :

E_{p_{1}} = m \times g \times z_{1}

Soit en faisant l'application numérique :

E_{p_{1}} = 70{,}0 \times 9{,}81 \times 1\ 600

E_{p_{1}} = 1{,}10 \times 10^{6} J

On en déduit finalement :

E_{c_{1}} = E_{m_{0}} - E_{p_{1}}

E_{c_{1}} = 3{,}78 \times 10^{6} - 1{,}10 \times 10^{6}

E_{c_{1}} =2{,}68 \times 10^{6} J

Etape 3

Détermination de la vitesse

L'expression générale permettant de déterminer l'énergie cinétique d'un corps s'exprime :

E_{c} = \dfrac{1}{2} \times m \times v^{2}

Avec :

m, la masse du corps en kilogrammes (kg)
v, la vitesse du corps en mètres par seconde (m/s)
E_c, l'énergie cinétique en Joules (J)

On en déduit donc l'expression permettant de déterminer la vitesse associée :

v = \sqrt{\dfrac{2 \times E_{c}}{m}}

Soit en faisant l'application numérique :

v_{1} = \sqrt{\dfrac{2 \times E_{c_{1}}}{m}}

v_{1} = \sqrt{\dfrac{2 \times 2{,}68 \times 10^{6}}{70{,}0}}

v_{1} = 277 m.s^-1

La vitesse que le parachutiste a déjà atteinte à 1600 m d'altitude est de 277 m.s^-1.

Quelle est l'effet des frottements sur la vitesse du parachutiste ?

Les frottements qui s'exercent sur le parachutiste dissipent une partie de son énergie mécanique en la convertissant en chaleur. Celle-ci diminue et le transfert de son énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique est seulement partiel. Ainsi, en présence de frottements, l'énergie cinétique qu'acquiert le parachutiste est plus faible et donc sa vitesse aussi.

Les frottements qui s'exercent sur le parachutiste dissipent une partie de son énergie mécanique en la convertissant en température. Celle-ci diminue et le transfert de son énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique est nul. Ainsi, en présence de frottements, l'énergie cinétique qu'acquiert le parachutiste est plus faible et donc sa vitesse aussi.

Les frottements qui s'exercent sur le parachutiste augmentent une partie de son énergie mécanique en la convertissant en température. Celle-ci diminue et le transfert de son énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique est nul. Ainsi, en présence de frottements, l'énergie cinétique qu'acquiert le parachutiste est plus importante et donc sa vitesse aussi.

Les frottements qui s'exercent sur le parachutiste dissipent une partie de son énergie mécanique (sous forme de chaleur transférée au milieu extérieur). Ainsi, son énergie mécanique diminue et le transfert de son énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique est seulement partiel. Ainsi, en présence de frottements, l'énergie cinétique qu'acquiert le parachutiste est plus faible et donc sa vitesse aussi.