Etude de fonctions

Existence et représentation graphique

Le domaine de définition

Domaine de définition

Le domaine de définition \(\displaystyle{D_{f}}\) d'une fonction \(\displaystyle{f}\) est l'ensemble des réels \(\displaystyle{x}\) pour lesquels \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) existe.

L'ensemble de définition de la fonction f définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=3x^5+5x^3-1}\) est \(\displaystyle{D_f=\mathbb{R}}\).

La courbe représentative

Courbe représentative

La courbe représentative \(\displaystyle{C_{f}}\) d'une fonction \(\displaystyle{f}\) dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \(\displaystyle{\left(x ; f\left(x\right)\right)}\), pour tous les réels \(\displaystyle{x}\) du domaine de définition de \(\displaystyle{f}\).

Résolutions graphiques

Signe d'une fonction

Fonction positive

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si, pour tout réel \(\displaystyle{x}\) de \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \geq 0}\)

Une fonction est positive sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle \(\displaystyle{I}\).

La fonction représentée ci-dessous est positive sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0 ; 2\right]}\).

Fonction négative

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est négative sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si, pour tout réel \(\displaystyle{x}\) de \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \leq0}\)

Une fonction est négative sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle \(\displaystyle{I}\).

La fonction représentée ci-dessous est négative sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0 ; 2\right]}\).

Résolutions d'équations et inéquations

Résolution graphique d'une équation de la forme \(\displaystyle{f\left(x\right)=k}\)

Soit f une fonction continue sur I, \(\displaystyle{C_f}\) sa courbe représentative dans un repère, et k un réel fixé.

Les solutions de l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right)=k}\) sont les abscisses des points d'intersection de la courbe \(\displaystyle{C_f}\) avec la droite "horizontale" d'équation \(\displaystyle{y=k}\).

Les solutions de l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right)=k}\) sont les réels \(\displaystyle{x_1}\), \(\displaystyle{x_2}\), \(\displaystyle{x_3}\) et \(\displaystyle{x_4}\).

Résolution graphique d'une inéquation de la forme \(\displaystyle{f\left(x\right)\geq k}\)

Soit f une fonction continue sur \(\displaystyle{I}\), \(\displaystyle{C_f}\) sa courbe représentative dans un repère, et k un réel fixé.

Les solutions de l'inéquation \(\displaystyle{f\left(x\right)\geq k}\) sont les abscisses des points de la courbe \(\displaystyle{C_f}\) situés au-dessus de la droite "horizontale" d'équation \(\displaystyle{y=k}\).

Les solutions de l'inéquation \(\displaystyle{f\left(x\right)\geq k}\) sont les réels appartenant à \(\displaystyle{\left[x_1;x_2\right]\cup\left[x_3;x_4\right]}\).

Comportement

Le sens de variation

Fonction croissante

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \leq f\left(y\right)}\)

Fonction strictement croissante

Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \lt f\left(y\right)}\)

Fonction décroissante

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de \(\displaystyle{I}\) tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \geq f\left(y\right)}\)

Fonction strictement décroissante

Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \gt f\left(y\right)}\)

Fonction constante

Une fonction f est constante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I et s'il existe un réel a tel que, pour tout réel x de I :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = a}\)

Signe de la dérivée

Sens de variation

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Stricte monotonie

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.

Les extremums

Maximum

Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus grand réel \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) sur I, s'il existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un maximum sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0 ; 2\right]}\). Ce maximum vaut 0,5 et est atteint pour \(\displaystyle{x=1,25}\).

Minimum

Le minimum de la fonction \(\displaystyle{f}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\) est le plus petit réel \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) sur \(\displaystyle{I}\), s'il existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un minimum sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0 ; 2\right]}\). Ce minimum vaut 0,25 et est atteint pour \(\displaystyle{x=0,75}\).

Un extremum est un maximum ou un minimum.

Opérations et variations

Sens de variation de \(\displaystyle{f+g}\)

Si deux fonctions f et g ont même sens de variation sur l'intervalle I, la fonction \(\displaystyle{h=f + g}\) possède également le même sens de variation sur I.

Soient les fonctions f et g définies sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2}\) et \(\displaystyle{g\left(x\right)=x^3}\). On définit sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) la fonction h par \(\displaystyle{h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)=x^2+x^3}\).

f et g sont toutes les deux croissantes sur \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\). Ainsi, h est également croissante sur \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\).

Sens de variation de \(\displaystyle{kf}\) avec \(\displaystyle{k\gt0}\)

Soit k un réel strictement positif et soit f une fonction définie sur un intervalle I de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).
La fonction kf possède le même sens de variation que la fonction f sur l'intervalle I.

La fonction f définie pour tout réel x par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2}\) est croissante sur \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\). Ainsi, la fonction g définie pour tout réel x par \(\displaystyle{g\left(x\right)=3f\left(x\right)=3x^2}\) est également croissante sur \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\) (car \(\displaystyle{3\gt0}\) ).

Sens de variation de \(\displaystyle{kf}\) avec \(\displaystyle{k\lt0}\)

Soit \(\displaystyle{k}\) un réel strictement négatif et soit f une fonction définie sur un intervalle I de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).
La fonction \(\displaystyle{kf}\) possède le sens de variation contraire à celui de la fonction \(\displaystyle{f}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\).

La fonction f définie pour tout réel x par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2}\) est croissante sur \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\). Ainsi, la fonction g définie pour tout réel x par \(\displaystyle{g\left(x\right)=-5f\left(x\right)=-5x^2}\) est décroissante sur \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\) (car \(\displaystyle{-5\lt0}\) ).