Terminale ES 2016-2017
Kartable
Terminale ES 2016-2017

Etude de fonctions

I

Existence et représentation graphique

A

Le domaine de définition

Domaine de définition

Le domaine de définition Df d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe.

L'ensemble de définition de la fonction f définie par f(x)=3x5+5x31 est Df=.

B

La courbe représentative

Courbe représentative

La courbe représentative Cf d'une fonction f dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées (x;f(x)), pour tous les réels x du domaine de définition de f.

-
C

Résolutions graphiques

1

Signe d'une fonction

Fonction positive

Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :

f(x)0

Une fonction est positive sur I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle I.

La fonction représentée ci-dessous est positive sur l'intervalle [0;2].

-
Fonction négative

Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :

f(x)0

Une fonction est négative sur I si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle I.

La fonction représentée ci-dessous est négative sur l'intervalle [0;2].

-
2

Résolutions d'équations et inéquations

Résolution graphique d'une équation de la forme f(x)=k

Soit f une fonction continue sur I, Cf sa courbe représentative dans un repère, et k un réel fixé.

Les solutions de l'équation f(x)=k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe Cf avec la droite "horizontale" d'équation y=k.

-

Les solutions de l'équation f(x)=k sont les réels x1, x2, x3 et x4.

Résolution graphique d'une inéquation de la forme f(x)k

Soit f une fonction continue sur I, Cf sa courbe représentative dans un repère, et k un réel fixé.

Les solutions de l'inéquation f(x)k sont les abscisses des points de la courbe Cf situés au-dessus de la droite "horizontale" d'équation y=k.

-

Les solutions de l'inéquation f(x)k sont les réels appartenant à [x1;x2][x3;x4].

II

Comportement

A

Le sens de variation

Fonction croissante

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x<y :

f(x)f(y)

-

Fonction strictement croissante

Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x<y :

f(x)<f(y)

Fonction décroissante

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x<y :

f(x)f(y)

-

Fonction strictement décroissante

Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x<y :

f(x)>f(y)

Fonction constante

Une fonction f est constante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I et s'il existe un réel a tel que, pour tout réel x de I :

f(x)=a

-
B

Signe de la dérivée

Sens de variation

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
  • Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
  • Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Stricte monotonie

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
  • si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
C

Les extremums

Maximum

Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus grand réel f(x) sur I, s'il existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un maximum sur l'intervalle [0;2]. Ce maximum vaut 0,5 et est atteint pour x=1,25.

-

Minimum

Le minimum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus petit réel f(x) sur I, s'il existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un minimum sur l'intervalle [0;2]. Ce minimum vaut 0,25 et est atteint pour x=0,75.

-

Un extremum est un maximum ou un minimum.

D

Opérations et variations

Sens de variation de f+g

Si deux fonctions f et g ont même sens de variation sur l'intervalle I, la fonction h=f+g possède également le même sens de variation sur I.

Soient les fonctions f et g définies sur par f(x)=x2 et g(x)=x3. On définit sur la fonction h par h(x)=f(x)+g(x)=x2+x3.

f et g sont toutes les deux croissantes sur [0;+[. Ainsi, h est également croissante sur [0;+[.

Sens de variation de kf avec k>0

Soit k un réel strictement positif et soit f une fonction définie sur un intervalle I de .
La fonction kf possède le même sens de variation que la fonction f sur l'intervalle I.

La fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x2 est croissante sur [0;+[. Ainsi, la fonction g définie pour tout réel x par g(x)=3f(x)=3x2 est également croissante sur [0;+[ (car 3>0 ).

Sens de variation de kf avec k<0

Soit k un réel strictement négatif et soit f une fonction définie sur un intervalle I de .
La fonction kf possède le sens de variation contraire à celui de la fonction f sur l'intervalle I.

La fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x2 est croissante sur [0;+[. Ainsi, la fonction g définie pour tout réel x par g(x)=5f(x)=5x2 est décroissante sur [0;+[ (car 5<0 ).

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