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Les intégrales

I

Aires et intégrales

Soit un repère orthogonal \(\displaystyle{\left(O ; I ; J\right)}\). On appelle unité d'aire l'aire du rectangle OIAJ, où A est le point de coordonnées \(\displaystyle{\left(1;1\right)}\).

-
A

Intégrale d'une fonction continue positive

Intégrale d'une fonction continue positive

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) (\(\displaystyle{a \lt b}\)), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx}\) de la fonction f sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation \(\displaystyle{x = a}\) et \(\displaystyle{x = b}\).

-

Bornes d'intégration

En utilisant les notations précédentes, les réels a et b sont appelés bornes d'intégration.

B

Intégrale d'une fonction continue négative

Intégrale d'une fonction continue négative

Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) (\(\displaystyle{a \lt b}\)), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx}\) de la fonction f sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à l'opposé de l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation \(\displaystyle{x = a}\) et \(\displaystyle{x = b}\).

-
C

Intégrale d'une fonction continue

Intégrale d'une fonction continue

Soit f une fonction continue sur un intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) (\(\displaystyle{a \lt b}\)), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx}\) de la fonction f sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à la différence entre la somme des aires des surfaces comprises entre la courbe représentative de f et l'axe des abscisses lorsque f est positive et la somme des aires des surfaces comprises entre la courbe représentative de f et l'axe des abscisses lorsque f est négative.

-

On a ici : \(\displaystyle{\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=A_1-A_2}\)

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient ai et bi deux réels de I tels que \(\displaystyle{a\gt b}\). Alors, on pose :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=-\int_{b}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

D

La valeur moyenne d'une fonction

Valeur moyenne d'une fonction

On appelle valeur moyenne de f sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) (\(\displaystyle{a \lt b}\)) le réel :

\(\displaystyle{\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

Considérons la fonction f continue et définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=7x-2}\). Sa valeur moyenne sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[2;5\right]}\) est donnée par le nombre :

\(\displaystyle{\dfrac{1}{5-2}\int_{2}^{5} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac13\int_{2}^{5} \left(7x-2\right) \ \mathrm dx}\).

II

Les propriétés de l'intégrale

A

Les propriétés algébriques

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I ; a, b et c trois réels de I, et k un réel quelconque.

\(\displaystyle{\int_{a}^{a}f\left(x\right) \ \mathrm dx = 0}\)

\(\displaystyle{\int_{5}^{5} 3x^8 \ \mathrm dx=0}\)

\(\displaystyle{\int_{b}^{a}f\left(x\right) \ \mathrm dx = -\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

\(\displaystyle{\int_{4}^{1} e^x\ \mathrm dx=-\int_{1}^{4} e^x \ \mathrm dx}\)

\(\displaystyle{\int_{a}^{b}kf\left(x\right) \ \mathrm dx = k\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

\(\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(3x^2-3\right)\ \mathrm dx = 3\int_{a}^{b}\left(x^2-1\right) \ \mathrm dx}\)

Relation de Chasles :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx =\int_{a}^{c}f\left(x\right) \ \mathrm dx +\int_{c}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

\(\displaystyle{\int_{1}^{100} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{1}^{25} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{25}^{100} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

Linéarité :

Pour tous réels \(\displaystyle{\alpha}\) et \(\displaystyle{\beta}\), \(\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\right) \ \mathrm dx =\alpha \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx +\beta \int_{a}^{b}g\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

\(\displaystyle{\int_{1}^{3} \dfrac{3x^5+2x}{x+1} \ \mathrm dx=\int_{1}^{3} \left[ \dfrac{3x^5}{x+1}+\dfrac{2x}{x+1} \right] \ \mathrm dx=3\int_{1}^{3} \dfrac{x^5}{x+1} \ \mathrm dx+2\int_{1}^{3} \dfrac{x}{x+1} \ \mathrm dx}\)

B

Ordre et intégration

Positivité de l'intégrale :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de I tels que \(\displaystyle{a \leq b}\). Si, pour tout réel x appartenant à \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right)\geqslant0}\), alors :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \geq 0}\)

La fonction \(\displaystyle{x\longmapsto x^2+1}\) est positive et continue sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[3;5\right]}\). Donc, par positivité de l'intégrale, (avec \(\displaystyle{3\lt5}\) ), on a :

\(\displaystyle{\int_{3}^{5} \left(x^2+1\right)\ \mathrm dx\geq0}\)

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de I tels que \(\displaystyle{a \leq b}\). Si, pour tout réel x appartenant à \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)}\), alors :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \int_{a}^{b}g\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

Pour tout réel \(\displaystyle{x\in \left[3;5\right]}\), \(\displaystyle{e^x\geq x}\). Les fonctions \(\displaystyle{x\longmapsto x}\) et \(\displaystyle{x\longmapsto e^x}\) étant continues sur \(\displaystyle{ \left[3;5\right]}\), on a donc :

\(\displaystyle{\int_{3}^{5} e^x \ \mathrm dx\geq\int_{3}^{5} x \ \mathrm dx}\)

III

Primitives et intégrales

A

Relation entre primitives et intégrales

Intégrale

Soient f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I. Soient a et b deux réels de I. On a :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(t\right) \ \mathrm dt = F\left(b\right) - F\left(a\right)}\)

Soit la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=3x+1}\). On cherche à calculer \(\displaystyle{I=\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\).

On sait qu'une primitive de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) est la fonction F définie pour tout réel x par \(\displaystyle{F\left(x\right)=\dfrac32x^2+x}\).

On a donc :

\(\displaystyle{\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=F\left(2\right)-F\left(1\right)}\)

\(\displaystyle{\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\left( \dfrac32\times2^2+2 \right)-\left( \dfrac32\times1^2+1 \right)}\)

\(\displaystyle{\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac{11}{2}}\)

\(\displaystyle{F\left(b\right) - F\left(a\right) }\) se note également \(\displaystyle{\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}}\).

\(\displaystyle{\int_{1}^{2} x \ \mathrm dx = \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \dfrac{2^2}{2} - \dfrac{1^2}{2} = \dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}}\)
B

Primitive qui s'annule en \(\displaystyle{a}\)

Primitive qui s'annule en \(\displaystyle{a}\)

Soit f une fonction continue sur I, et a un réel de I. La fonction F définie ci-après est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en a :

\(\displaystyle{F:x\longmapsto \int_{a}^{x}f\left(t\right) \ \mathrm dt}\)

Cette fonction F est donc dérivable sur I et f est sa fonction dérivée sur I.

Soit f la fonction définie pour tout réel x par \(\displaystyle{f\left(x\right)=2x+1}\). La fonction F définie ci-après est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en 0. Pour tout réel x, on a :

\(\displaystyle{F\left(x\right) =\int_{0}^{x}\left(2t+1\right) \ \mathrm dt}\)

Soit :

\(\displaystyle{F\left(x\right) =\left[ t^2+t \right]_0^x}\)

\(\displaystyle{F\left(x\right) =\left(x^2+x\right)-\left(0^2+0\right)}\)

\(\displaystyle{F\left(x\right)=x^2+x}\)

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