Terminale ES 2015-2016

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Les suites

I

Etude globale d'une suite

A

Définition

Suite numérique

Une suite numérique est une fonction de \(\displaystyle{\mathbb{N}}\) dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

La fonction définie pour tout entier naturel n par \(\displaystyle{u\left(n\right) = 2n+1}\) est une suite.

  • Pour désigner la suite u, on peut écrire \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) .
  • L'écriture \(\displaystyle{u_{n}}\) désigne en revanche le terme de rang n de la suite u, c'est-à-dire \(\displaystyle{u\left(n\right)}\).

Modes de génération d'une suite

Il existe trois façons de définir une suite.

1. Définition explicite
La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie directement par son terme général :

\(\displaystyle{u_{n} = f\left(n\right)}\)

2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et un réel a, une suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) peut être définie par récurrence par son premier terme \(\displaystyle{u_0=a}\) et par, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{ u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)}\)

3. Définition implicite
La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie par une propriété géométrique, économique, etc. au sein d'un problème.

On donne :

\(\displaystyle{\forall n \in\mathbb{N}^*, u_n=5n^2+\dfrac2n}\)

La suite est définie de manière explicite.

On donne :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0=15 \cr \cr \forall n\in \mathbb{N},u_{n+1}=8u_n-12 \end{cases}}\)

La suite est définie par récurrence.

B

Les suites majorées, minorées, bornées

Suite majorée

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n} \leq M}\)

On définit la suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) par :

\(\displaystyle{\forall n \in\mathbb{N^*},u_n=\dfrac1n}\)

On a, pour tout entier naturel non nul n :

\(\displaystyle{\dfrac1n\leq1}\)

Ainsi, \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) est majorée par 1.

Suite minorée

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est minorée si et seulement s'il existe un réel \(\displaystyle{m}\) tel que, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n} \geq m}\)

On définit la suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) par :

\(\displaystyle{\forall n \in\mathbb{N^*},u_n=\dfrac1n}\)

On a, pour tout entier naturel non nul n :

\(\displaystyle{\dfrac1n\geq0}\)

Ainsi, \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) est minorée par 0.

Suite bornée

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.

La suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) définie pour tout entier n non nul par \(\displaystyle{u_n=\dfrac1n}\) est à la fois minorée par 0 et majorée par 1. Elle est donc bornée.

C

Le sens de variation

Suite croissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} \geq u_{n}}\)

Considérons la suite \(\displaystyle{\left(u_n \right)}\) définie par :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0=12 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=\left( u_n \right)^2+u_n \end{cases}}\)

On a, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\left( u_n \right)^2}\)

Or, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{\left(u_n \right)^2\geq0}\)

Donc pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n\geq0}\)

Soit :

\(\displaystyle{u_{n+1}\geq u_n}\)

Ainsi, la suite \(\displaystyle{\left(u_n \right)}\) est croissante.

Suite strictement croissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est strictement croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} \gt u_{n}}\)

Suite décroissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} \leq u_{n}}\)

Considérons la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) définie par :

\(\displaystyle{\forall n \in\mathbb{N}^*,u_n=\dfrac1n}\)

On a, pour tout entier naturel n non nul :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac1n=\dfrac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}}\)

Or, pour tout entier naturel n non nul :

\(\displaystyle{\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}\leqslant 0}\)

Donc, pour tout entier naturel n non nul :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n\leq0}\)

Soit :

\(\displaystyle{u_{n+1}\leq u_n}\)

Ainsi, la suite \(\displaystyle{\left( u_n\right)}\) est décroissante.

Suite strictement décroissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est strictement décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} \lt u_{n}}\)

Suite constante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n}}\)

Suite monotone

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens de variation).

II

Les suites particulières

A

Les suites arithmétiques

Suite arithmétique

Une suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n} + r}\)

On considère la suite définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0=1}\) et par, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n} - 2 }\)

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.

Cette suite est donc arithmétique.

Soit \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) une suite arithmétique de raison r :

  • Si \(\displaystyle{r\gt0}\), la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est croissante.
  • Si \(\displaystyle{r\lt0}\), la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est décroissante.
  • Si \(\displaystyle{r=0}\), la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est constante.

Raison de la suite

Le réel r est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite était arithmétique de raison −2.

Terme général d'une suite arithmétique

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r}\)

En particulier, si \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{0} + nr}\)

Si \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est une suite arithmétique de raison \(\displaystyle{r=-2}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=3}\), alors, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_n=3-2n}\)

B

Les suites géométriques

Suite géométrique

Une suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est géométrique si et seulement s'il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n pour lequel elle est définie :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n} \times q}\)

On considère la suite définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0=1}\) et par, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{ u_{n+1} = 3u_{n} }\)

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.

Cette suite est donc géométrique.

Soit q un réel strictement positif :

  • Si \(\displaystyle{q\gt1}\), la suite \(\displaystyle{\left(q^n\right)}\) est croissante.
  • Si \(\displaystyle{0\lt q\lt1}\), la suite \(\displaystyle{\left(q^n\right)}\) est décroissante.
  • Si \(\displaystyle{q=1}\), la suite \(\displaystyle{\left(q^n\right)}\) est constante.

Raison de la suite

Le réel q est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite était géométrique de raison 3.

Terme général d'une suite géométrique

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}}\)

En particulier, si \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{0} \times q^{n}}\)

Si \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est une suite géométrique de raison \(\displaystyle{q=2}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=3}\), alors pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_n=3\times2^n}\)

Limite d'une suite géométrique

Soit un réel q strictement positif :

  • Si \(\displaystyle{q \lt 1}\), alors \(\displaystyle{q^n}\) a pour limite 0
  • Si \(\displaystyle{1 \lt q}\), alors \(\displaystyle{q^n}\) a pour limite \(\displaystyle{+\infty }\)
  • Si \(\displaystyle{q=1}\), alors \(\displaystyle{q^n}\) a pour limite 1

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } \left( \dfrac14 \right)^n = 0}\) car \(\displaystyle{0\lt\dfrac{1}{4}\lt1}\)

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } 5^n = +\infty }\) car \(\displaystyle{5\gt1}\)

  • Dire que \(\displaystyle{q^n}\) a pour limite 0 signifie que \(\displaystyle{q^n}\) est aussi proche de 0 que l'on veut dès que n est suffisamment grand.
  • Dire que \(\displaystyle{q^n}\) a pour limite \(\displaystyle{+\infty}\) signifie que \(\displaystyle{q^n}\) est aussi grand que l'on veut dès que n est suffisamment grand.

Somme des premiers termes d'une suite géométrique

Soient n un entier naturel et q un réel différent de 1 :

\(\displaystyle{1+q^1+...+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}\)

On a :

\(\displaystyle{1+2^1+...+2^{15}=\dfrac{1-2^{15+1}}{1-2}=2^{16}-1}\)

Si q est un réel strictement compris entre 0 et 1, on a :

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}\left(1+q^1+...+q^n\right)=\dfrac{1}{1-q}}\)

On a :

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}\left(1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^1+...+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2}\)

C

Les suites arithmético-géométriques

Suite arithmético-géométrique

Soient \(\displaystyle{u_{0}}\), \(\displaystyle{q}\) et \(\displaystyle{r}\) trois réels. On considère la suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0}\) et par, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{ u_{n+1} = u_{n} \times q + r}\)

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est appelée suite arithmético-géométrique.

On considère la suite définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0=2}\) et par, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{ u_{n+1} = 5u_{n} - 1 }\)

Cette suite est arithmético-géométrique.

  • Si \(\displaystyle{q = 1}\), la suite est arithmétique de raison r.
  • Si \(\displaystyle{r = 0}\), la suite est géométrique de raison q.

Pour étudier ces suites, on utilise une suite géométrique auxiliaire fournie dans l'énoncé.