Terminale L 2016-2017
Kartable
Terminale L 2016-2017
I

Etude globale d'une suite

A

Définition

Suite numérique

Une suite numérique est une fonction de dans .

La fonction définie pour tout entier naturel n par u(n)=2n+1 est une suite.

  • Pour désigner la suite u, on peut écrire (un).
  • L'écriture un désigne en revanche le terme de rang n de la suite u, c'est-à-dire u(n).

Modes de génération d'une suite

Il existe trois façons de définir une suite.

1. Définition explicite
La suite (un) est définie directement par son terme général :

un=f(n)

2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur et un réel a, une suite (un) peut être définie par récurrence par son premier terme u0=a et par, pour tout entier naturel n :

un+1=f(un)

3. Définition implicite
La suite (un) est définie par une propriété géométrique, économique, etc. au sein d'un problème.

On donne :

n,un=5n2+2n

La suite est définie de manière explicite.

On donne :

u0=15n,un+1=8un12

La suite est définie par récurrence.

B

Les suites majorées, minorées, bornées

Suite majorée

La suite (un) est majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

unM

On définit la suite (un) par :

n,un=1n

On a, pour tout entier naturel non nul n :

1n1

Ainsi, (un) est majorée par 1.

Suite minorée

La suite (un) est minorée si et seulement s'il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

unm

On définit la suite (un) par :

n,un=1n

On a, pour tout entier naturel non nul n :

1n0

Ainsi, (un) est minorée par 0.

Suite bornée

La suite (un) est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.

La suite (un) définie pour tout entier n non nul par un=1n est à la fois minorée par 0 et majorée par 1. Elle est donc bornée.

C

Le sens de variation

Suite croissante

La suite (un) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

un+1un

Considérons la suite (un) définie par :

u0=12n,un+1=(un)2+un

On a, pour tout entier naturel n :

un+1un=(un)2

Or, pour tout entier naturel n :

(un)20

Donc pour tout entier naturel n :

un+1un0

Soit :

un+1un

Ainsi, la suite (un) est croissante.

Suite strictement croissante

La suite (un) est strictement croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

un+1>un

Suite décroissante

La suite (un) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

un+1un

Considérons la suite (un) définie par :

n,un=1n

On a, pour tout entier naturel n non nul :

un+1un=1n+11n=n(n+1)n(n+1)=1n(n+1)

Or, pour tout entier naturel n non nul :

1n(n+1)0

Donc, pour tout entier naturel n non nul :

un+1un0

Soit :

un+1un

Ainsi, la suite (un) est décroissante.

Suite strictement décroissante

La suite (un) est strictement décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

un+1<un

Suite constante

La suite (un) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :

un+1=un

Suite monotone

La suite (un) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens de variation).

II

Les suites particulières

A

Les suites arithmétiques

Suite arithmétique

Une suite (un) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :

un+1=un+r

On considère la suite définie par son premier terme u0=1 et par, pour tout entier naturel n :

un+1=un2

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.

Cette suite est donc arithmétique.

Soit (un) une suite arithmétique de raison r :

  • Si r>0, la suite (un) est croissante.
  • Si r<0, la suite (un) est décroissante.
  • Si r=0, la suite (un) est constante.

Raison de la suite

Le réel r est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite était arithmétique de raison −2.

Terme général d'une suite arithmétique

Soit (un) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

un=up+(np)r

En particulier, si (un) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

un=u0+nr

Si (un) est une suite arithmétique de raison r=2 et de premier terme u0=3, alors, pour tout entier naturel n :

un=32n

B

Les suites géométriques

Suite géométrique

Une suite (un) est géométrique si et seulement s'il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n pour lequel elle est définie :

un+1=un×q

On considère la suite définie par son premier terme u0=1 et par, pour tout entier naturel n :

un+1=3un

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.

Cette suite est donc géométrique.

Soit q un réel strictement positif :

  • Si q>1, la suite (qn) est croissante.
  • Si 0<q<1, la suite (qn) est décroissante.
  • Si q=1, la suite (qn) est constante.

Raison de la suite

Le réel q est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite était géométrique de raison 3.

Terme général d'une suite géométrique

Soit (un) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

un=up×qnp

En particulier, si (un) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

un=u0×qn

Si (un) est une suite géométrique de raison q=2 et de premier terme u0=3, alors pour tout entier naturel n :

un=3×2n

Limite d'une suite géométrique

Soit un réel q strictement positif :

  • Si q<1, alors qn a pour limite 0
  • Si 1<q, alors qn a pour limite +
  • Si q=1, alors qn a pour limite 1

limn+(14)n=0 car 0<14<1

limn+5n=+ car 5>1

  • Dire que qn a pour limite 0 signifie que qn est aussi proche de 0 que l'on veut dès que n est suffisamment grand.
  • Dire que qn a pour limite + signifie que qn est aussi grand que l'on veut dès que n est suffisamment grand.

Somme des premiers termes d'une suite géométrique

Soient n un entier naturel et q un réel différent de 1 :

1+q1+...+qn=1qn+11q

On a :

1+21+...+215=1215+112=2161

Si q est un réel strictement compris entre 0 et 1, on a :

limn+(1+q1+...+qn)=11q

On a :

limn+(1+(12)1+...+(12)n)=1112=112=2

C

Les suites arithmético-géométriques

Suite arithmético-géométrique

Soient u0, q et r trois réels. On considère la suite (un) définie par son premier terme u0 et par, pour tout entier naturel n :

un+1=un×q+r

La suite (un) est appelée suite arithmético-géométrique.

On considère la suite définie par son premier terme u0=2 et par, pour tout entier naturel n :

un+1=5un1

Cette suite est arithmético-géométrique.

  • Si q=1, la suite est arithmétique de raison r.
  • Si r=0, la suite est géométrique de raison q.

Pour étudier ces suites, on utilise une suite géométrique auxiliaire fournie dans l'énoncé.

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