Terminale L 2015-2016
Kartable
Terminale L 2015-2016

Les intégrales

I

Aires et intégrales

Soit un repère orthogonal (O;I;J). On appelle unité d'aire l'aire du rectangle OIAJ, où A est le point de coordonnées (1;1).

-
A

Intégrale d'une fonction continue positive

Intégrale d'une fonction continue positive

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b] (a<b), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale baf(x) dx de la fonction f sur [a;b] est égale à l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=a et x=b.

-

Bornes d'intégration

En utilisant les notations précédentes, les réels a et b sont appelés bornes d'intégration.

B

Intégrale d'une fonction continue négative

Intégrale d'une fonction continue négative

Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [a;b] (a<b), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale baf(x) dx de la fonction f sur [a;b] est égale à l'opposé de l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=a et x=b.

-
C

Intégrale d'une fonction continue

Intégrale d'une fonction continue

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b] (a<b), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale baf(x) dx de la fonction f sur [a;b] est égale à la différence entre la somme des aires des surfaces comprises entre la courbe représentative de f et l'axe des abscisses lorsque f est positive et la somme des aires des surfaces comprises entre la courbe représentative de f et l'axe des abscisses lorsque f est négative.

-

On a ici : baf(x) dx=A1A2

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient ai et bi deux réels de I tels que a>b. Alors, on pose :

baf(x) dx=abf(x) dx

D

La valeur moyenne d'une fonction

Valeur moyenne d'une fonction

On appelle valeur moyenne de f sur [a;b] (a<b) le réel :

1babaf(x) dx

Considérons la fonction f continue et définie sur par f(x)=7x2. Sa valeur moyenne sur l'intervalle [2;5] est donnée par le nombre :

15252f(x) dx=1352(7x2) dx.

II

Les propriétés de l'intégrale

A

Les propriétés algébriques

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I ; a, b et c trois réels de I, et k un réel quelconque.

aaf(x) dx=0

553x8 dx=0

abf(x) dx=baf(x) dx

14ex dx=41ex dx

bakf(x) dx=kbaf(x) dx

ba(3x23) dx=3ba(x21) dx

Relation de Chasles :

baf(x) dx=caf(x) dx+bcf(x) dx

1001ln(x) dx=251ln(x) dx+10025ln(x) dx

Linéarité :

Pour tous réels α et β, ba(αf(x)+βg(x)) dx=αbaf(x) dx+βbag(x) dx

313x5+2xx+1 dx=31[3x5x+1+2xx+1] dx=331x5x+1 dx+231xx+1 dx

B

Ordre et intégration

Positivité de l'intégrale :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de I tels que ab. Si, pour tout réel x appartenant à [a;b], f(x)0, alors :

baf(x) dx0

La fonction xx2+1 est positive et continue sur l'intervalle [3;5]. Donc, par positivité de l'intégrale, (avec 3<5 ), on a :

53(x2+1) dx0

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de I tels que ab. Si, pour tout réel x appartenant à [a;b], f(x)g(x), alors :

baf(x) dxbag(x) dx

Pour tout réel x[3;5], exx. Les fonctions xx et xex étant continues sur [3;5], on a donc :

53ex dx53x dx

III

Primitives et intégrales

A

Relation entre primitives et intégrales

Intégrale

Soient f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I. Soient a et b deux réels de I. On a :

baf(t) dt=F(b)F(a)

Soit la fonction f définie sur par f(x)=3x+1. On cherche à calculer I=21f(x) dx.

On sait qu'une primitive de f sur est la fonction F définie pour tout réel x par F(x)=32x2+x.

On a donc :

21f(x) dx=F(2)F(1)

21f(x) dx=(32×22+2)(32×12+1)

21f(x) dx=112

F(b)F(a) se note également [F(x)]ba.

21x dx=[x22]21=222122=4212=32
B

Primitive qui s'annule en a

Primitive qui s'annule en a

Soit f une fonction continue sur I, et a un réel de I. La fonction F définie ci-après est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en a :

F:xxaf(t) dt

Cette fonction F est donc dérivable sur I et f est sa fonction dérivée sur I.

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=2x+1. La fonction F définie ci-après est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en 0. Pour tout réel x, on a :

F(x)=x0(2t+1) dt

Soit :

F(x)=[t2+t]x0

F(x)=(x2+x)(02+0)

F(x)=x2+x

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