Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

La divisibilité et la congruence

I

La divisibilité

A

Les diviseurs

Entier divisible

Soient a et b deux entiers relatifs, avec b non nul. L'entier a est divisible par b si et seulement s'il existe un entier relatif k tel que :

a=kb

On a :

24=8×3

Donc 24 est divisible par 3.

On peut aussi en déduire que 24 est divisible par 8.

Soient a et b deux entiers relatifs, avec b non nul. Les propositions suivantes sont équivalentes :

  • a est divisible par b ;
  • b est un diviseur de a ;
  • b divise a.

Soient a et b deux entiers relatifs, avec b non nul. Si b divise a, alors b divise a.

4 divise 16, donc −4 divise également 16.

En effet, en prenant k=4 :

(4)×(4)=16

Soient a, b et d trois entiers relatifs avec d non nul. Si d divise les entiers a et b, il divise alors toute combinaison linéaire de a et de b du type ka+kb, avec k et k' entiers relatifs.

4 divise 16 et 24, donc, par exemple, en prenant k=3 et k=5 :

4 divise 3×16+5×24

Donc 4 divise 168.

B

Les multiples

Multiple

Soient a et b deux entiers relatifs, avec b non nul. L'entier a est un multiple de b si et seulement si b est un diviseur de a.

81 est un multiple de 9, et 9 est un diviseur de 81.

Soient a et b deux entiers relatifs, avec b non nul.

  • Si a est un multiple de b, alors a est un multiple de b.
  • La somme et/ou la différence de multiples de b est un multiple de b.
  • Si a est un multiple de b, alors ka est un multiple de b (avec k entier relatif).
C

La division euclidienne

Division euclidienne

Soient a et b deux entiers relatifs, avec b non nul. Il existe un unique couple d'entiers relatifs (q;r) tel que :

a=bq+r et 0r<||b||

  • L'entier q est le quotient de la division euclidienne de a par b.
  • L'entier r est le reste de la division euclidienne de a par b.

La division euclidienne de 103 par 12 est :

103=12×8+7

Dans cet exemple, q=8 et r=7.

Soient a et b deux entiers relatifs, avec b non nul. On dit que a est multiple de b et que b divise a si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

II

Les congruences

A

La caractérisation

Congruence

Soient a et b deux entiers et n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On dit que a est congru à b modulo n si et seulement si (ab) est multiple de n. On note :

ab[n]

On a :

5127=24

Or 24 est multiple de 6, donc (5127) est également un multiple de 6. Ainsi, on peut écrire :

5127[6]

Soient a et b deux entiers, et n un entier naturel supérieur ou égal à 2. ab[n] si et seulement si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.

On a :

  • 55=9×6+1
  • 28=9×3+1

Donc 55 et 28 ont le même reste dans la division euclidienne par 9. On peut ainsi écrire :

5528[9]

L'entier a est divisible par l'entier b (supérieur ou égal à 2) si et seulement si a0[b].

B

Les opérations

Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2, a, a, b et b des entiers relatifs tels que aa[n] et bb[n], alors :

  • a+ba+b[n]
  • abab[n]
  • abab[n]
  • akak[n] ( k entier naturel non nul)

Si a5[6] et b1[6] alors :

  • a+b5+1[6]6[6]0[6]
  • ab51[6]4[6]
  • ab5×1[6]5[6]
  • a252[6]25[6]1[6]

Soient a, b et k des entiers relatifs et n un entier supérieur ou égal à 2.

Si ab[n], alors kakb[n].

Attention, la réciproque est fausse.

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