Terminale S 2016-2017

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Rechercher tous les diviseurs d'un nombre

Afin de déterminer tous les diviseurs d'un nombre, on s'aide de sa décomposition en produit de facteurs premiers.

Soit \(\displaystyle{D\left(n\right)}\) l'ensemble des diviseurs positifs d'un nombre n. Déterminer \(\displaystyle{D\left(120\right)}\).

Etape 1

Décomposer en produit de facteurs premiers

On décompose n en produit de facteurs premiers de la forme :

\(\displaystyle{n = a_1^{\alpha_1}\times a_2^{\alpha_2}\times ...\times a_p^{\alpha_p}}\)

Avec \(\displaystyle{a_1}\), ..., \(\displaystyle{a_p}\) des nombres premiers et \(\displaystyle{\alpha_1}\), ..., \(\displaystyle{\alpha_p}\) des entiers naturels.

On décompose 120 en produit de facteurs premiers :

120 est divisible par 2 donc \(\displaystyle{120= 2\times 60}\).

60 est divisible par 2 donc \(\displaystyle{60= 2\times 30}\).

30 est divisible par 2 donc \(\displaystyle{30 = 2\times 15}\).

15 est divisible par 3 donc \(\displaystyle{15= 3\times 5}\).

On obtient donc :

\(\displaystyle{120= 2^3\times 3^1 \times 5^1}\)

Etape 2

Lister les diviseurs

Si d est un diviseur positif de n, d admet une décomposition de la forme :

\(\displaystyle{d = a_1^{j_1}\times a_2^{j_2}\times ...\times a_p^{j_p}}\), avec pour tout i compris entre 1 et p, \(\displaystyle{0 \leq j_i \leq \alpha_i}\).

On détermine toutes les combinaisons possibles à l'aide d'un arbre.

Si d est un diviseur positif de 120, d admet une décomposition de la forme :

\(\displaystyle{d = 2^{i}\times 3^{j}\times 5^{k}}\), avec \(\displaystyle{0 \leq i \leq 3}\), \(\displaystyle{0 \leq j \leq 1}\) et \(\displaystyle{0 \leq k \leq 1}\)

On détermine toutes les combinaisons possibles à l'aide d'un arbre.

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Etape 3

Conclure

On conclut en donnant la liste des diviseurs de n.

L'ensemble des diviseurs positifs de 120 est donc :

\(\displaystyle{\left\{ 1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;24;30;40;60;120\right\}}\)