Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Rechercher tous les diviseurs d'un nombre

Afin de déterminer tous les diviseurs d'un nombre, on s'aide de sa décomposition en produit de facteurs premiers.

Soit D(n) l'ensemble des diviseurs positifs d'un nombre n. Déterminer D(120).

Etape 1

Décomposer en produit de facteurs premiers

On décompose n en produit de facteurs premiers de la forme :

n=aα11×aα22×...×aαpp

Avec a1, ..., ap des nombres premiers et α1, ..., αp des entiers naturels.

On décompose 120 en produit de facteurs premiers :

120 est divisible par 2 donc 120=2×60.

60 est divisible par 2 donc 60=2×30.

30 est divisible par 2 donc 30=2×15.

15 est divisible par 3 donc 15=3×5.

On obtient donc :

120=23×31×51

Etape 2

Lister les diviseurs

Si d est un diviseur positif de n, d admet une décomposition de la forme :

d=aj11×aj22×...×ajpp, avec pour tout i compris entre 1 et p, 0jiαi.

On détermine toutes les combinaisons possibles à l'aide d'un arbre.

Si d est un diviseur positif de 120, d admet une décomposition de la forme :

d=2i×3j×5k, avec 0i3, 0j1 et 0k1

On détermine toutes les combinaisons possibles à l'aide d'un arbre.

-
Etape 3

Conclure

On conclut en donnant la liste des diviseurs de n.

L'ensemble des diviseurs positifs de 120 est donc :

{1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;24;30;40;60;120}

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