Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Retrouver des inconnues dans une division euclidienne

Méthode 1

Déterminer le quotient et le reste

Afin de déterminer le quotient et le reste d'une division euclidienne, on l'écrit sous la forme a=bq+r avec a (le dividende), b (le diviseur) et q (le quotient) des nombres entiers relatifs et r le reste un nombre entier naturel tel que 0r<||b||.

Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de 163 par 12.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle qu'une division euclidienne s'écrit sous la forme a=bq+r avec a le dividende, b le diviseur, q le quotient (qui sont des entiers relatifs) et r le reste un entier positif tel que 0r<||b||.

On cherche à déterminer q et r, avec 0r<12, tels que :

163=12q+r

Etape 2

Calculer la partie entière de ab

On sait que q est la partie entière de ab.

q est la partie entière de 16312.

Or :

1631213,6

Donc :

q=13

Etape 3

Calculer le reste et vérifier que 0r<||b||

On a a=bq+r.

On en déduit que : r=abq

On vérifie ensuite que 0r<||b||.

On a :

163=12×13+r

Soit :

r=16312×13

r=7

On a bien 0r<12.

Etape 4

Conclure

On conclut en donnant les valeurs de q et r.

On a donc :

  • q=13
  • r=7
Méthode 2

Déterminer le diviseur et le reste

Afin de déterminer le diviseur et le reste d'une division euclidienne, on détermine un encadrement du diviseur afin d'en déduire sa valeur puis on calcule r.

On divise 237 par un entier naturel non nul b. Le quotient est 13 et le reste est r.

Déterminer toutes les valeurs possibles de b et r.

Etape 1

Écrire la division euclidienne

La division euclidienne est de la forme :

a=bq+r, avec a, b et q des entiers relatifs et r un entier naturel tel que 0r<||b||.

On cherche à déterminer b et r, avec 0r<||b||, tels que :

237=13b+r

Etape 2

En déduire un encadrement de b

On a :

a=bq+r, avec 0r<||b||

Ainsi :

bqbq+r<bq+||b||

Plusieurs cas peuvent se présenter :

Cas 1

Si a>0 et b>0

Alors :

q=E(ab)>0

L'encadrement devient :

bqa<bq+b

bqa<b(q+1)

Comme b>0 et q>0, on obtient :

aq+1<baq

Cas 2

Si a>0 et b<0

Alors :

q=E(ab)<0

L'encadrement devient :

bqa<bqb

bqa<b(q1)

Comme b<0 et q<0, on obtient :

aqb<aq1

Cas 3

Si a<0 et b<0

Alors :

q=E(ab)>0

L'encadrement devient :

bqa<bqb

bqa<b(q1)

  • Si q=1, alors ba<0, et, comme a=b×1+r, on a r=ab
  • Si q1, alors aq1<baq

Ici, on a a>0 et q>0, donc b>0. Ainsi :

237=13b+r, avec 0r<||b||.

On a donc :

13b13b+r<13b+b

D'où :

13b237<14b

On en déduit un encadrement de b :

23714<b23713

Etape 3

Déterminer les valeurs possibles de b

b peut prendre comme valeurs tous les entiers vérifiant l'encadrement précédent.

16,9<b18,2

Par conséquent :

b=17 ou b=18

Etape 4

En déduire les valeurs possibles de r

On a a=bq+r.

On en déduit que : r=abq

On détermine la valeur de r correspondante à chaque valeur de b trouvée. On vérifie ensuite à chaque fois que 0r<||b||.

Pour b=17 on obtient :

r=23717×13=16

On a bien 016<17.

Pour b=18 on obtient :

r=23718×13=3

On a bien 03<18.

Etape 5

Conclure

On conclut en donnant le ou les couple(s) (b;r) solutions.

Les valeurs possibles de b et de r sont :

  • b=17 et r=16
  • b=18 et r=3
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