Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Rechercher le reste de la division de an par b

Afin de rechercher le reste de la division de an par b, on détermine les restes successifs pour les différentes puissances de a et on utilise les congruences.

Déterminer les restes de la division euclidienne de 5n par 7 suivant les valeurs de n.

Etape 1

Déterminer les restes successifs des premières puissances de a par b

On calcule les restes successifs des premières puissances de a par b. On s'arrête pour le premier entier naturel p>1 tel que :

ap1[b]

Le cycle est donc de p.

On a les restes successifs de la division par 7 des puissances de 5 suivantes :

  • 501[7]
  • 515[7]
  • 524[7]
  • 536[7]
  • 542[7]
  • 553[7]
  • 561[7]

Le cycle est donc de 6.

Etape 2

Exprimer n en fonction p

On exprime n en fonction de p :

n=p×k+r avec 0r<p

On divise n par 6, on obtient :

n=6×k+r avec 0r<6

Etape 3

Remplacer dans l'expression de an

On remplace dans l'expression de an :

an=ap×k+r=(ap)k×ar

Comme ap1[b], on en déduit que (ap)k1k[b]1[b]

Donc (ap)k×arar[b]

On remplace dans l'expression de an :

5n=56×k+r=(5p)k×5r

Comme 561[7], on en déduit que (56)k1k[7]1[7].

Donc (56)k×5r5r[7].

Etape 4

En déduire la table de congruence

Comme anar[b] on détermine les restes de la division euclidienne de ar par b pour 0r<p. On reprend les valeurs calculées à l'étape 1.

On récapitule les résultats sous forme d'un tableau.

En reprenant les résultats de l'étape 1, on obtient alors la table de congruence modulo 7 suivante :

n[6]012345
5n[7]154623
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