Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Résoudre une équation par les congruences 

Il est possible de résoudre des équations avec des congruences en appliquant les propriétés des opérations sur les congruences.

Déterminer les entiers x tels que :

3x+42[4]

Etape 1

Simplifier l'équation

D'après le cours, on sait que :

ax+bc[d]axcb[d]

Si nécessaire, on applique cette propriété afin de simplifier l'équation.

3x+42[4]3x2[4]

Or :

2[4]2[4]

Donc l'équation devient :

3x2[4]

Etape 2

Raisonner avec un tableau

On dresse la table des congruences de x par b puis on en déduit celle de ax par b.

Or x est nécessairement congru à 0 ; 1 ; 2 ou 3.

On en déduit que :

  • Si x0[4] alors 3x0[4]
  • Si x1[4] alors 3x3[4]
  • Si x2[4] alors 3x62[4]
  • Si x3[4] alors 3x91[4]

Pour plus de lisibilité, on récapitule les résultats sous forme d'une table des congruences.

x0123
3x0321

On en déduit que :

3x2[4]x2[4]

Etape 3

Conclure

On conclut sur les solutions de l'équation.

On en conclut que les entiers x solutions de l'équation sont de la forme 2+4k avec k.

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