Sachant que \begin{pmatrix} -\dfrac{5}{2} &2 \cr\cr \dfrac{3}{2}&- 1\end{pmatrix} est la matrice inverse de \begin{pmatrix} 2&4 \cr\cr 3&5\end{pmatrix}, quelles sont les solutions du système suivant ?
\begin{cases} 2x+4y = 6 \cr \cr 3x+5y = 7\end{cases}
On identifie les coefficients des inconnues x et y dans le système :
\begin{cases} \textcolor{Red}{2}x+\textcolor{Red}{4}y = 6 \cr \cr \textcolor{Red}{3}x+\textcolor{Red}{5}y = 7\end{cases}
Ce qui permet d'écrire le système sous forme matricielle :
\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{2}&\textcolor{Red}{4} \cr\cr \textcolor{Red}{3}&\textcolor{Red}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6 \cr\cr 7\end{pmatrix}
On multiplie alors les deux membres de cette égalité du côté gauche par la matrice \begin{pmatrix} -\dfrac{5}{2} &2 \cr\cr \dfrac{3}{2}&- 1\end{pmatrix} :
\begin{pmatrix} -\dfrac{5}{2} &2 \cr\cr \dfrac{3}{2}&- 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{2}&\textcolor{Red}{4} \cr\cr \textcolor{Red}{3}&\textcolor{Red}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\dfrac{5}{2} &2 \cr\cr \dfrac{3}{2}&- 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \cr\cr 7\end{pmatrix}
Sachant que \begin{pmatrix} -\dfrac{5}{2} &2 \cr\cr \dfrac{3}{2}&- 1\end{pmatrix} est la matrice inverse de \begin{pmatrix} 2&4 \cr\cr 3&5\end{pmatrix}, on obtient :
I_2 \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\dfrac{5}{2} &2 \cr\cr \dfrac{3}{2}&- 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \cr\cr 7\end{pmatrix}
Soit :
\begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\dfrac{5}{2} &2 \cr\cr \dfrac{3}{2}&- 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \cr\cr 7\end{pmatrix}
Il ne reste plus qu'à effectuer le produit matriciel du membre de droite pour en déduire x et y :
\begin{pmatrix} -\dfrac{5}{2} &2 \cr\cr \dfrac{3}{2}&- 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \cr\cr 7\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\dfrac{5}{2}\times 6+2\times7 \cr\cr \dfrac{3}{2}\times6-1\times 7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1 \cr\cr 2\end{pmatrix}
On obtient ainsi l'égalité \begin{pmatrix}x \cr\cr y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \cr\cr 2\end{pmatrix}.
On en conclut que x=-1 et y=2.
Sachant que \begin{pmatrix}3 &-2 \cr\cr -1& 1\end{pmatrix} est la matrice inverse de \begin{pmatrix} 1&2 \cr\cr 1&3\end{pmatrix}, quelles sont les solutions du système suivant ?
\begin{cases} x+2y = 0 \cr \cr x+3y = -2\end{cases}
On identifie les coefficients des inconnues x et y dans le système :
\begin{cases} \textcolor{Red}{1}x+\textcolor{Red}{2}y = 0 \cr \cr \textcolor{Red}{1}x+\textcolor{Red}{3}y = -2\end{cases}
Ce qui permet d'écrire le système sous forme matricielle :
\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{1}&\textcolor{Red}{2} \cr\cr \textcolor{Red}{1}&\textcolor{Red}{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \cr\cr -2\end{pmatrix}
On multiplie alors les deux membres de cette égalité du côté gauche par la matrice \begin{pmatrix} 3 &-2 \cr\cr -1& 1\end{pmatrix} :
\begin{pmatrix} 3 &-2 \cr\cr -1& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{1}&\textcolor{Red}{2} \cr\cr \textcolor{Red}{1}&\textcolor{Red}{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 &-2 \cr\cr -1& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr -2\end{pmatrix}
Sachant que \begin{pmatrix} 3 &-2 \cr\cr -1& 1\end{pmatrix} est la matrice inverse de \begin{pmatrix} 1&1 \cr\cr 2&3\end{pmatrix}, on obtient :
I_2 \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 &-2 \cr\cr -1& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr -2\end{pmatrix}
Soit :
\begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 &-2 \cr\cr -1& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr -2\end{pmatrix}
Il ne reste plus qu'à effectuer le produit matriciel du membre de droite pour en déduire x et y :
\begin{pmatrix} 3 &-2 \cr\cr -1& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3\times0-2\times\left(-2\right) \cr\cr-1\times0+1\times\left(-2\right) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 \cr\cr-2 \end{pmatrix}
On obtient ainsi l'égalité \begin{pmatrix}x \cr\cr y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \cr\cr -2\end{pmatrix}.
On en conclut que x=4 et y=-2.
Sachant que \begin{pmatrix}4 &7\cr\cr 3& 5\end{pmatrix} est la matrice inverse de \begin{pmatrix} -5&7 \cr\cr 3&-4\end{pmatrix}, quelles sont les solutions du système suivant ?
\begin{cases} -5x+7y = -43 \cr \cr3 x-4y = 25\end{cases}
On identifie les coefficients des inconnues x et y dans le système :
\begin{cases} \textcolor{Red}{-5}x+\textcolor{Red}{7}y = -43 \cr \cr \textcolor{Red}{3}x+\textcolor{Red}{-4}y = 25\end{cases}
Ce qui permet d'écrire le système sous forme matricielle :
\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{-5}&\textcolor{Red}{7} \cr\cr \textcolor{Red}{3}&\textcolor{Red}{-4}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -43 \cr\cr 25\end{pmatrix}
On multiplie alors les deux membres de cette égalité du côté gauche par la matrice \begin{pmatrix} 4 &7 \cr\cr 3& 5\end{pmatrix} :
\begin{pmatrix} 4 &7 \cr\cr 3& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{-5}&\textcolor{Red}{7} \cr\cr \textcolor{Red}{3}&\textcolor{Red}{-4}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 &7 \cr\cr 3& 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -43 \cr\cr 25\end{pmatrix}
Sachant que \begin{pmatrix} 4 &7 \cr\cr 3& 5\end{pmatrix} est la matrice inverse de \begin{pmatrix} -5&7 \cr\cr 3&-4\end{pmatrix}, on obtient :
I_2 \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 &7 \cr\cr 3& 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -43 \cr\cr 25\end{pmatrix}
Soit :
\begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 &7 \cr\cr 3& 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -43 \cr\cr 25\end{pmatrix}
Il ne reste plus qu'à effectuer le produit matriciel du membre de droite pour en déduire x et y :
\begin{pmatrix} 4 &7 \cr\cr 3& 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -43 \cr\cr 25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\times\left(-43\right)+7\times25 \cr\cr 3\times\left(-43\right)+5\times25\end{pmatrix}
On obtient ainsi l'égalité \begin{pmatrix}x \cr\cr y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \cr\cr -4\end{pmatrix}.
On en conclut que x=3 et y=-4.
Sachant que \begin{pmatrix} 7 &-8 \cr\cr -6& 7\end{pmatrix} est la matrice inverse de \begin{pmatrix}7 &8\cr\cr 6& 7\end{pmatrix}, quelles sont les solutions du système suivant ?
\begin{cases} 7x+8y = 2 \cr \cr6x+7y = 3\end{cases}
On identifie les coefficients des inconnues x et y dans le système :
\begin{cases} \textcolor{Red}{7}x+\textcolor{Red}{8}y = 2 \cr \cr \textcolor{Red}{6}x+\textcolor{Red}{7}y = 3\end{cases}
Ce qui permet d'écrire le système sous forme matricielle :
\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{7}&\textcolor{Red}{8} \cr\cr \textcolor{Red}{6}&\textcolor{Red}{7}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3\end{pmatrix}
On multiplie alors les deux membres de cette égalité du côté gauche par la matrice \begin{pmatrix} 7 &-8 \cr\cr -6& 7\end{pmatrix} :
\begin{pmatrix} 7 &-8 \cr\cr -6& 7\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{7}&\textcolor{Red}{8} \cr\cr \textcolor{Red}{6}&\textcolor{Red}{7}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 &-8 \cr\cr -6& 7\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3\end{pmatrix}
Sachant que \begin{pmatrix} 7 &-8 \cr\cr -6& 7\end{pmatrix} est la matrice inverse de \begin{pmatrix} 7&8 \cr\cr 6&7\end{pmatrix}, on obtient :
I_2\begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 &-8 \cr\cr -6& 7\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3\end{pmatrix}
Soit :
\begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 &-8 \cr\cr -6& 7\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3\end{pmatrix}
Il ne reste plus qu'à effectuer le produit matriciel du membre de droite pour en déduire x et y :
\begin{pmatrix} 7 &-8 \cr\cr -6& 7\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\times2-8\times3 \cr\cr -6\times2+7\times3\end{pmatrix}
On obtient ainsi l'égalité \begin{pmatrix}x \cr\cr y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-10 \cr\cr 9\end{pmatrix}.
On en conclut que x=-10 et y=9.
Sachant que \begin{pmatrix} 20 &-9 \cr\cr -11& 5\end{pmatrix} est la matrice inverse de \begin{pmatrix}5 &9\cr\cr 11& 20\end{pmatrix}, quelles sont les solutions du système suivant ?
\begin{cases} 5x+9y = 7\cr \cr11x+20y = 15{,}5\end{cases}
On identifie les coefficients des inconnues x et y dans le système :
\begin{cases} \textcolor{Red}{5}x+\textcolor{Red}{9}y = 7 \cr \cr \textcolor{Red}{11}x+\textcolor{Red}{20}y = 15{,}5\end{cases}
Ce qui permet d'écrire le système sous forme matricielle :
\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{5}&\textcolor{Red}{9} \cr\cr \textcolor{Red}{11}&\textcolor{Red}{20}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 7 \cr\cr 15{,}5\end{pmatrix}
On multiplie alors les deux membres de cette égalité du côté gauche par la matrice \begin{pmatrix} 20 &-9 \cr\cr -11& 5\end{pmatrix} :
\begin{pmatrix} 20 &-9 \cr\cr -11& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{5}&\textcolor{Red}{9} \cr\cr \textcolor{Red}{11}&\textcolor{Red}{20}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 20 &-9 \cr\cr -11& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 \cr\cr 15{,}5\end{pmatrix}
Sachant que \begin{pmatrix} 20 &-9 \cr\cr -11& 5\end{pmatrix} est la matrice inverse de \begin{pmatrix} 5&9 \cr\cr 11&20\end{pmatrix}, on obtient :
I_2 \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 20 &-9 \cr\cr -11& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 \cr\cr 15{,}5\end{pmatrix}
Soit :
\begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 20 &-9 \cr\cr -11& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 \cr\cr 15{,}5\end{pmatrix}
Il ne reste plus qu'à effectuer le produit matriciel du membre de droite pour en déduire x et y :
\begin{pmatrix} 20 &-9 \cr\cr -11& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 \cr\cr 15{,}5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 20\times 7-9\times15{,}5 \cr\cr -11\times7 +5\times15{,}5\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 20 &-9 \cr\cr -11& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 \cr\cr 15{,}5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 140-139{,}5 \cr\cr -77 +77{,}5\end{pmatrix}
On obtient ainsi l'égalité \begin{pmatrix}x \cr\cr y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cr\cr \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
On en conclut que x=\dfrac{1}{2} et y=\dfrac{1}{2} .
Sachant que \begin{pmatrix} 1 &-\dfrac{3}{2} \cr\cr -3& 5\end{pmatrix} est la matrice inverse de \begin{pmatrix}10 &3\cr\cr 6& 2\end{pmatrix}, quelles sont les solutions du système suivant ?
\begin{cases} 10x+3y = -2\cr \cr 6x+2y = -2\end{cases}
On identifie les coefficients des inconnues x et y dans le système :
\begin{cases} \textcolor{Red}{10}x+\textcolor{Red}{3}y = -2 \cr \cr \textcolor{Red}{6}x+\textcolor{Red}{2}y = -2\end{cases}
Ce qui permet d'écrire le système sous forme matricielle :
\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{10}&\textcolor{Red}{3} \cr\cr \textcolor{Red}{6}&\textcolor{Red}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2 \cr\cr -2\end{pmatrix}
On multiplie alors les deux membres de cette égalité du côté gauche par la matrice \begin{pmatrix} 1 &-\dfrac{3}{2} \cr\cr-3 & 5\end{pmatrix} :
\begin{pmatrix} 1 &-\dfrac{3}{2} \cr\cr-3 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{10}&\textcolor{Red}{3} \cr\cr \textcolor{Red}{6}&\textcolor{Red}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &-\dfrac{3}{2} \cr\cr-3 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr -2\end{pmatrix}
Sachant que \begin{pmatrix} 1 &-\dfrac{3}{2} \cr\cr-3 & 5\end{pmatrix} est la matrice inverse de \begin{pmatrix} 10&3 \cr\cr 6&2\end{pmatrix}, on obtient :
I_2\begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &-\dfrac{3}{2} \cr\cr-3 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr -2\end{pmatrix}
Soit :
\begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &-\dfrac{3}{2} \cr\cr-3 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr -2\end{pmatrix}
Il ne reste plus qu'à effectuer le produit matriciel du membre de droite pour en déduire x et y :
\begin{pmatrix} 1 &-\dfrac{3}{2} \cr\cr-3 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr -2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\times\left(-2\right) -\dfrac{3}{2}\times \left(-2\right) \cr\cr-3\times\left(-2\right)+5\times\left(-2\right)\end{pmatrix}
On obtient ainsi l'égalité \begin{pmatrix}x \cr\cr y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cr\cr -4\end{pmatrix}.
On en conclut que x=1 et y=-4.
Sachant que \begin{pmatrix} 6 &3 \cr\cr 9& 5\end{pmatrix} est la matrice inverse de \begin{pmatrix}\dfrac{5}{3} &-1\cr\cr -3& 2\end{pmatrix}, quelles sont les solutions du système suivant ?
\begin{cases} \dfrac{5}{3}x-y = 110\cr \cr -3x+2y = 180\end{cases}
On identifie les coefficients des inconnues x et y dans le système :
\begin{cases} \textcolor{Red}{\dfrac{5}{3}}x+\textcolor{Red}{\left(-1\right)}y = 110 \cr \cr \textcolor{Red}{\left(-3\right)}x+\textcolor{Red}{2}y = 180\end{cases}
Ce qui permet d'écrire le système sous forme matricielle :
\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{\dfrac{5}{3}}&\textcolor{Red}{-1} \cr\cr \textcolor{Red}{-3}&\textcolor{Red}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 110 \cr\cr 180\end{pmatrix}
On multiplie alors les deux membres de cette égalité du côté gauche par la matrice \begin{pmatrix} 6 &3 \cr\cr 9& 5\end{pmatrix} :
\begin{pmatrix} 6 &3 \cr\cr 9& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \textcolor{Red}{\dfrac{5}{3}}&\textcolor{Red}{-1} \cr\cr \textcolor{Red}{-3}&\textcolor{Red}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \cr\cr 9& 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 110 \cr\cr 180\end{pmatrix}
Sachant que \begin{pmatrix} 6 &3 \cr\cr 9& 5\end{pmatrix} est la matrice inverse de \begin{pmatrix} \dfrac{5}{3}&-1 \cr\cr -3&2\end{pmatrix}, on obtient :
I_2\begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \cr\cr 9& 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 110 \cr\cr 180\end{pmatrix}
Soit :
\begin{pmatrix} x \cr\cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \cr\cr 9& 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 110 \cr\cr 180\end{pmatrix}
Il ne reste plus qu'à effectuer le produit matriciel du membre de droite pour en déduire x et y :
\begin{pmatrix} 6 &3 \cr\cr 9& 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 110 \cr\cr 180\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\times110+3\times180 \cr\cr 9\times110+5\times180\end{pmatrix}
On obtient ainsi l'égalité \begin{pmatrix}x \cr\cr y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\ 200\cr\cr 1\ 890\end{pmatrix}.
On en conclut que x=1\ 200 et y=1\ 890.