Terminale S 2015-2016

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Les nombres premiers

I

Définition des nombres premiers

Nombre premier

Un entier naturel est dit premier lorsqu'il admet exactement deux diviseurs dans \(\displaystyle{\mathbb{N}}\) : 1 et lui-même.

13 est premier car il possède exactement deux diviseurs dans \(\displaystyle{\mathbb{N}}\) : 1 et 13.

12 n'est pas un nombre premier car ses diviseurs dans \(\displaystyle{\mathbb{N}}\) sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

2 est le seul nombre pair premier.

1 n'est pas premier car il n'a qu'un diviseur : 1.

Infinité des nombres premiers

L'ensemble des nombres premiers est infini.

II

Propriétés des nombres premiers

Tout entier n supérieur ou égal à 2 non premier admet au moins un diviseur premier inférieur ou égal à \(\displaystyle{\sqrt n}\).

Soit \(\displaystyle{n\geq 2}\)

Si n n'admet aucun diviseur premier inférieur ou égal à \(\displaystyle{\sqrt n}\), alors n est premier.

\(\displaystyle{\sqrt{29}\approx5,4}\)

29 n'admet pas de diviseurs premiers inférieurs ou égaux à 5. Donc 29 est premier.

III

Divisibilité par un nombre premier

Nombres premiers entre eux

Soient a un entier relatif et p un entier naturel. Si p est premier et p ne divise pas a, alors a et p sont premiers entre eux.

11 est premier et ne divise pas 25. Donc 11 et 25 sont premiers entre eux.

Divisibilité par un nombre premier

Soient a et b des entiers relatifs et p un entier naturel.

  • Si p est premier et divise ab, alors p divise a ou p divise b.
  • Si, en plus, a et b sont premiers, alors \(\displaystyle{p=a}\) ou \(\displaystyle{p=b}\).

p est premier et divise le produit \(\displaystyle{7\times 3}\). Comme 7 et 3 sont premiers, alors \(\displaystyle{p=7}\) ou \(\displaystyle{p=3}\).

IV

Décomposition en produit de facteurs premiers

Décomposition en produit de facteurs premiers

Tout entier n supérieur ou égal à 2 s'écrit de façon unique sous la forme :

\(\displaystyle{n=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times \cdot\cdot\cdot \times p_m^{\alpha_m}}\),

\(\displaystyle{p_1,p_2,\cdot\cdot\cdot,p_m}\) sont des nombres premiers tels que \(\displaystyle{p_1\lt p_2 \lt \cdot\cdot\cdot\lt p_m}\) et \(\displaystyle{\alpha_1,\alpha_2,\cdot\cdot\cdot,\alpha_m}\) des entiers naturels non nuls.

Cette écriture est la décomposition en produit de facteurs premiers.

La décomposition en produit de facteurs premiers de 600 est :

\(\displaystyle{600=6\times10^2=2\times3\times\left( 5\times2 \right)^2=2^3\times3\times5^2}\)

car 2, 3 et 5 sont bien des nombres premiers.