Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Les nombres premiers

I

Définition des nombres premiers

Nombre premier

Un entier naturel est dit premier lorsqu'il admet exactement deux diviseurs dans : 1 et lui-même.

13 est premier car il possède exactement deux diviseurs dans : 1 et 13.

12 n'est pas un nombre premier car ses diviseurs dans sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

2 est le seul nombre pair premier.

1 n'est pas premier car il n'a qu'un diviseur : 1.

Infinité des nombres premiers

L'ensemble des nombres premiers est infini.

II

Propriétés des nombres premiers

Tout entier n supérieur ou égal à 2 non premier admet au moins un diviseur premier inférieur ou égal à n.

Soit n2

Si n n'admet aucun diviseur premier inférieur ou égal à n, alors n est premier.

295,4

29 n'admet pas de diviseurs premiers inférieurs ou égaux à 5. Donc 29 est premier.

III

Divisibilité par un nombre premier

Nombres premiers entre eux

Soient a un entier relatif et p un entier naturel. Si p est premier et p ne divise pas a, alors a et p sont premiers entre eux.

11 est premier et ne divise pas 25. Donc 11 et 25 sont premiers entre eux.

Divisibilité par un nombre premier

Soient a et b des entiers relatifs et p un entier naturel.

  • Si p est premier et divise ab, alors p divise a ou p divise b.
  • Si, en plus, a et b sont premiers, alors p=a ou p=b.

p est premier et divise le produit 7×3. Comme 7 et 3 sont premiers, alors p=7 ou p=3.

IV

Décomposition en produit de facteurs premiers

Décomposition en produit de facteurs premiers

Tout entier n supérieur ou égal à 2 s'écrit de façon unique sous la forme :

n=pα11×pα22××pαmm,

p1,p2,,pm sont des nombres premiers tels que p1<p2<<pm et α1,α2,,αm des entiers naturels non nuls.

Cette écriture est la décomposition en produit de facteurs premiers.

La décomposition en produit de facteurs premiers de 600 est :

600=6×102=2×3×(5×2)2=23×3×52

car 2, 3 et 5 sont bien des nombres premiers.

pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.