Première ES 2015-2016

En vous inscrivant, vous autorisez Kartable à vous envoyer ses communications par email.

ou
Se connecter
Mot de passe oublié ?
ou

Les pourcentages

I

Proportion et pourcentage d'évolution

A

Proportion d'une partie par rapport à un tout

Proportion

Soit A une partie d'un ensemble fini E.

Si \(\displaystyle{n_E}\) et \(\displaystyle{n_A}\) sont respectivement les nombres d'éléments de E et de A, la proportion des éléments de A par rapport à E est le quotient :

\(\displaystyle{p=\dfrac{n_A}{n_E}}\)

Dans une urne contenant 100 boules de différentes couleurs, il y a 70 boules rouges . La proportion de boules rouges est :

\(\displaystyle{\dfrac{70}{100}=0,7}\)

Une proportion p est un nombre compris entre 0 et 1. Elle s'exprime souvent sous forme de pourcentage.

Si l'on écrit \(\displaystyle{p=\dfrac{a}{100}}\), on dit que le pourcentage de A par rapport à E est \(\displaystyle{a\%}\).

Une classe de 35 élèves contient 28 filles. La proportion de filles dans la classe est :

\(\displaystyle{p=\dfrac{28}{35}}\)

Soit :

\(\displaystyle{p=\dfrac45=0,8=\dfrac{80}{100}}\)

Ainsi, la proportion de fille dans la classe est de 80%.

Une proportion n'a pas d'unité.

B

Pourcentage d'évolution

Taux et pourcentage d'évolution

Si une grandeur évolue d'une valeur \(\displaystyle{Q_1}\) à une valeur \(\displaystyle{Q_2}\) :

  • Le rapport \(\displaystyle{\dfrac{Q_2-Q_1}{Q_1}}\) s'appelle le taux d'évolution (ou la variation relative) de \(\displaystyle{Q_1}\) à \(\displaystyle{Q_2}\).
  • Soit \(\displaystyle{t}\) le nombre tel que \(\displaystyle{\dfrac{Q_2-Q_1}{Q_1}=\dfrac{t}{100}}\). On dit que \(\displaystyle{t\%}\) est le pourcentage d'évolution de \(\displaystyle{Q_1}\) à \(\displaystyle{Q_2}\) (ou que \(\displaystyle{t\%}\) est le taux d'évolution de \(\displaystyle{Q_1}\) à \(\displaystyle{Q_2}\) ).

L'évolution peut être :

  • Une augmentation si le taux d'évolution est positif
  • Une diminution si le taux d'évolution est négatif

En 2009, il y avait \(\displaystyle{Q_1=256}\) élèves dans un établissement scolaire. En 2012, il y en avait \(\displaystyle{Q_2=448}\).

Le taux d'évolution entre \(\displaystyle{Q_1}\) et \(\displaystyle{Q_2}\) vaut :

\(\displaystyle{\dfrac{Q_2-Q_1}{Q_1}=\dfrac{448-256}{256}=\dfrac{192}{256}=0,75=\dfrac{75}{100}}\)

Le pourcentage d'augmentation des élèves entre 2009 et 2012 est de 75 %.

\(\displaystyle{\dfrac{Q_2-Q_1}{Q_1}=\dfrac{t}{100}}\) équivaut à \(\displaystyle{\dfrac{Q_2}{Q_1}=1+\dfrac{t}{100}}\)

Si \(\displaystyle{\dfrac{Q_2-Q_1}{Q_1}=\dfrac{75}{100}}\) alors on a :

\(\displaystyle{\dfrac{Q_2}{Q_1}=1+\dfrac{75}{100}=1,75}\)

  • Augmenter une quantité \(\displaystyle{Q}\) de \(\displaystyle{t\%}\), revient à multiplier cette quantité par le nombre \(\displaystyle{1+\dfrac{t}{100}}\).
  • Diminuer une quantité \(\displaystyle{Q}\) de \(\displaystyle{t\%}\) revient à multiplier cette quantité par le nombre \(\displaystyle{1-\dfrac{t}{100}}\).

Le prix d'un produit est de 150 €. Il a augmenté de 8%. Pour déterminer le nouveau prix, on multiplie le prix initial par 1,08. Ainsi, le nouveau prix est égal à :

\(\displaystyle{150\times 1,08=162}\)

\(\displaystyle{1+\dfrac{t}{100}}\) et \(\displaystyle{1-\dfrac{t}{100}}\) s'appellent les coefficients multiplicateurs.

II

Evolutions et indices

A

Evolutions successives

Soit une quantité qui subit une évolution relative de taux \(\displaystyle{t_1\text{ }\%}\), puis une évolution relative de \(\displaystyle{t_2\text{ }\%}\). Cette quantité est alors multipliée par :

\(\displaystyle{\left( 1+\dfrac{t_1}{100} \right)\times\left( 1+ \dfrac{t_2}{100}\right)}\)

Si une quantité augmente de 20%, puis diminue de 30%, alors cette quantité est multipliée par :

\(\displaystyle{\left( 1+\dfrac{20}{100} \right)\times\left( 1- \dfrac{30}{100}\right)=1,2\times0,7=0,84}\).

Pour déterminer le taux t% correspondant de cette évolution, il faut trouver t tel que :

\(\displaystyle{0,84=1+\dfrac{t}{100}}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{t=-16}\)

Donc, une augmentation de 20% suivie d'une diminution de 30% correspond à une diminution de 16%.

B

Evolutions réciproques

\(\displaystyle{Q_1}\) et \(\displaystyle{Q_2}\) sont deux valeurs d'une même grandeur.

On définit deux évolutions réciproques :

  • Celle de \(\displaystyle{Q_1}\) à \(\displaystyle{Q_2}\)
  • Celle de \(\displaystyle{Q_2}\) à \(\displaystyle{Q_1}\)

On désigne par \(\displaystyle{t\text{ }\%}\) le taux d'évolution de \(\displaystyle{Q_1}\) à \(\displaystyle{Q_2}\) et par \(\displaystyle{t'\text{ }\%}\) celui de \(\displaystyle{Q_2}\) à \(\displaystyle{Q_1}\). On a alors :

\(\displaystyle{\left( 1+\dfrac{t}{100} \right)\times\left( 1+ \dfrac{t'}{100}\right)=1}\).

On dit que \(\displaystyle{t'\text{ }\%}\) est le taux d'évolution réciproque du taux \(\displaystyle{t\text{ }\%}\).

-

Cette formule permet de déterminer la valeur de \(\displaystyle{t'}\) en résolvant une équation d'inconnue \(\displaystyle{t'}\).

Quel est le taux réciproque \(\displaystyle{t'\text{ }\%}\) d'une augmentation de 30% ?

On peut écrire :

\(\displaystyle{\left( 1+\dfrac{30}{100} \right)\times\left( 1+ \dfrac{t'}{100}\right)=1}\).

D'où :

\(\displaystyle{1,3\times\left( 1+ \dfrac{t'}{100}\right)=1}\).

En résolvant cette équation, on retrouve la valeur de \(\displaystyle{t'}\).

\(\displaystyle{1+\dfrac{t'}{100}=\dfrac{1}{1,3}}\)

\(\displaystyle{t'=100\times\left( \dfrac{1}{1,3}-1 \right)\approx-23}\)

Le taux réciproque d'une hausse de 30% est une baisse de 23% environ.

C

Indices

Indice base 100

Soient \(\displaystyle{Q_1}\) et \(\displaystyle{Q_2}\) deux valeurs d'une même grandeur.

Définir "l'indice base 100 de cette grandeur correspondant à la valeur \(\displaystyle{Q_1}\) ", c'est associer à \(\displaystyle{Q_1}\) la valeur \(\displaystyle{I_1=100}\) et à \(\displaystyle{Q_2}\) la valeur \(\displaystyle{I_2}\) telles que \(\displaystyle{I_1}\) et \(\displaystyle{I_2}\) sont proportionnelles à \(\displaystyle{Q_1}\) et \(\displaystyle{Q_2}\).

\(\displaystyle{\dfrac{I_2}{I_1}=\dfrac{Q_2}{Q_1}}\) soit \(\displaystyle{I_2=100\times\dfrac{Q_2}{Q_1}}\).

Le tableau ci-dessous représente l'évolution dans le temps du SMIC horaire brut en euros.

Année 2000 2005 2011
SMIC 6,41 8,03 9,00

Pour obtenir l'indice base 100 du SMIC horaire en 2000 pour l'année 2005, on effectue le calcul :

\(\displaystyle{100\times\dfrac{8,03}{6,41}\approx125,3}\)

L'indice pour l'année 2011 est :

\(\displaystyle{100\times\dfrac{9}{6,41}\approx140,4}\)

Les indices n'ont pas d'unité.

Les taux d'évolutions relatives pour la quantité \(\displaystyle{Q}\) et les taux d'évolutions relatives pour l'indice \(\displaystyle{I}\) sont égaux.

Grâce à cette propriété, la lecture de l'indice fournit alors très rapidement le pourcentage d'évolution de l'indice et ainsi celui de la grandeur.

Année 2000 2005 2011
Indice 100 125,3 140,4

Le tableau ci-dessus donnant l'indice base 100 en 2000 du SMIC permet de lire le pourcentage d'augmentation de l'indice de 2000 à 2005 (c'est-à-dire 25,3%) qui correspond aussi au pourcentage d'augmentation du SMIC.

De même, le pourcentage d'augmentation de l'indice de 2000 à 2011 (et donc du SMIC) est de 40,4%.