Première S 2015-2016

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Les équations de droites

I

Les vecteurs directeurs d'une droite

A

Définition

Vecteur directeur

Soient A et B deux points distincts du plan. Un vecteur non nul \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) est un vecteur directeur de la droite (AB) si et seulement si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) sont colinéaires.

-
B

Les propriétés

Nombre de vecteurs directeurs

Toute droite admet un nombre infini de vecteurs directeurs.

-

Unicité d'une droite passant par deux points

Soient A et B deux points distincts du plan.

Il existe une et une seule droite passant par les points A et B.

Unicité d'une droite passant par un point fixé, connaissant un vecteur directeur

Soient un point A et un vecteur non nul \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\). Il existe une et une seule droite passant par A et de vecteur directeur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\).

-

Vecteur directeur et coefficient directeur

Soit (d) une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, de coefficient directeur a. Un vecteur directeur de (d) est le vecteur :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \text{ } \begin{pmatrix} 1 \cr a \end{pmatrix}}\)

La droite d'équation \(\displaystyle{y=-2x-6}\) a pour coefficient directeur −2. Un vecteur directeur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) de cette droite a pour coordonnées \(\displaystyle{\overrightarrow{u} \text{ } \begin{pmatrix} 1 \cr- 2 \end{pmatrix}}\).

II

Les équations d'une droite

Le plan est rapporté à un repère \(\displaystyle{\left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right)}\).

A

L'équation réduite

Equation réduite

Soit une droite D.

Si D est verticale (parallèle à l'axe des ordonnées), l'équation réduite de D est de la forme :

\(\displaystyle{x = k}\)

k est un réel.

Sinon, l'équation réduite de D est de la forme :

\(\displaystyle{y = mx + p}\)

où le réel m est le coefficient directeur de D et le réel p est son ordonnée à l'origine.

-

Condition de parallélisme

Deux droites, non parallèles à l'axe des ordonnées, sont parallèles, si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Les droites (d) et (d'), d'équations respectives \(\displaystyle{y=-2x+6}\) et \(\displaystyle{y=-2x+\dfrac13}\), sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur −2.

B

Une équation cartésienne

Equation cartésienne

Soit une droite D. Une équation cartésienne de la droite D est une équation de la forme :

\(\displaystyle{ax + by + c = 0}\)

a, b et c sont trois réels, a et b ne pouvant être tous les deux nuls.

Un vecteur directeur de D est le vecteur :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \text{ } \begin{pmatrix} -b \cr a \end{pmatrix}}\)

La droite d'équation cartésienne \(\displaystyle{-x-5y+7=0}\) a pour vecteur directeur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5 \cr -1 \end{pmatrix}}\).

Soit D une droite d'équation cartésienne \(\displaystyle{ax + by + c = 0}\).

  • Si \(\displaystyle{b = 0}\), la droite D est parallèle à l'axe des ordonnées.
  • Si \(\displaystyle{b \neq 0}\), la droite D a pour coefficient directeur \(\displaystyle{m=-\dfrac{a}{b}}\).

La droite d'équation cartésienne \(\displaystyle{-x-5y+7=0}\) est une droite ayant pour coefficient directeur :

\(\displaystyle{m=\dfrac{-\left(-1\right)}{-5}=-\dfrac15}\)

Une droite admet une infinité d'équations cartésiennes et une seule équation réduite.

La droite (d) a pour équation cartésienne :

\(\displaystyle{3x-4y+1=0}\)

En multipliant chaque membre par −4, on obtient une deuxième équation cartésienne :

\(\displaystyle{-12x+16y-4=0}\)

En revanche l'équation réduite de (d) est unique. En isolant y dans le membre de gauche, on obtient :

\(\displaystyle{y=\dfrac34x+\dfrac14}\)

Condition analytique du parallélisme

Les droites d'équations \(\displaystyle{ax+by+c=0}\) et \(\displaystyle{a'x+b'y+c'=0}\) sont parallèles si et seulement si \(\displaystyle{ab'-a'b=0}\).

Considérons les droites (d) et (d') d'équations respectives \(\displaystyle{-4x+y-7=0}\) et \(\displaystyle{x-\dfrac14y+15=0}\).

Calculons :

\(\displaystyle{-4\times\left( -\dfrac14 \right)-1\times1=1-1=0}\)

Par conséquent les droites (d) et (d') sont parallèles.