Première S 2015-2016
Kartable
Première S 2015-2016

Les équations de droites

I

Les vecteurs directeurs d'une droite

A

Définition

Vecteur directeur

Soient A et B deux points distincts du plan. Un vecteur non nul u est un vecteur directeur de la droite (AB) si et seulement si les vecteurs u et AB sont colinéaires.

-
B

Les propriétés

Nombre de vecteurs directeurs

Toute droite admet un nombre infini de vecteurs directeurs.

-

Unicité d'une droite passant par deux points

Soient A et B deux points distincts du plan.

Il existe une et une seule droite passant par les points A et B.

Unicité d'une droite passant par un point fixé, connaissant un vecteur directeur

Soient un point A et un vecteur non nul u. Il existe une et une seule droite passant par A et de vecteur directeur u.

-

Vecteur directeur et coefficient directeur

Soit (d) une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, de coefficient directeur a. Un vecteur directeur de (d) est le vecteur :

u (1a)

La droite d'équation y=2x6 a pour coefficient directeur −2. Un vecteur directeur u de cette droite a pour coordonnées u (12).

II

Les équations d'une droite

Le plan est rapporté à un repère (O;i;j).

A

L'équation réduite

Equation réduite

Soit une droite D.

Si D est verticale (parallèle à l'axe des ordonnées), l'équation réduite de D est de la forme :

x=k

k est un réel.

Sinon, l'équation réduite de D est de la forme :

y=mx+p

où le réel m est le coefficient directeur de D et le réel p est son ordonnée à l'origine.

-

Condition de parallélisme

Deux droites, non parallèles à l'axe des ordonnées, sont parallèles, si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Les droites (d) et (d'), d'équations respectives y=2x+6 et y=2x+13, sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur −2.

B

Une équation cartésienne

Equation cartésienne

Soit une droite D. Une équation cartésienne de la droite D est une équation de la forme :

ax+by+c=0

a, b et c sont trois réels, a et b ne pouvant être tous les deux nuls.

Un vecteur directeur de D est le vecteur :

u (ba)

La droite d'équation cartésienne x5y+7=0 a pour vecteur directeur u(51).

Soit D une droite d'équation cartésienne ax+by+c=0.

  • Si b=0, la droite D est parallèle à l'axe des ordonnées.
  • Si b0, la droite D a pour coefficient directeur m=ab.

La droite d'équation cartésienne x5y+7=0 est une droite ayant pour coefficient directeur :

m=(1)5=15

Une droite admet une infinité d'équations cartésiennes et une seule équation réduite.

La droite (d) a pour équation cartésienne :

3x4y+1=0

En multipliant chaque membre par −4, on obtient une deuxième équation cartésienne :

12x+16y4=0

En revanche l'équation réduite de (d) est unique. En isolant y dans le membre de gauche, on obtient :

y=34x+14

Condition analytique du parallélisme

Les droites d'équations ax+by+c=0 et ax+by+c=0 sont parallèles si et seulement si abab=0.

Considérons les droites (d) et (d') d'équations respectives 4x+y7=0 et x14y+15=0.

Calculons :

4×(14)1×1=11=0

Par conséquent les droites (d) et (d') sont parallèles.

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