Déterminer la position relative de deux droitesMéthode

Deux droites \left(d\right) et \left(d'\right) peuvent être sécantes, parallèles ou confondues.

Soient les droites \left(d\right) d'équation cartésienne 2x-y+1 = 0 et \left(d'\right) d'équation cartésienne -x+\dfrac{1}{2}y+3 = 0.

Etudier la position relative de \left(d\right) et de \left(d'\right).

Etape 1

Réciter le cours

D'après le cours, deux droites peuvent être parallèles ou sécantes.

  • Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
  • Deux droites sont sécantes si elles ont un seul point commun.

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Sinon, elles sont sécantes en un point.

Etape 2

Déterminer un vecteur directeur de chaque droite

On détermine donc un vecteur directeur de la droite.

On peut l'obtenir de différentes façons :

  • Soit il est donné dans l'énoncé.
  • Soit on donne deux points A et B appartenant à \left(d\right), \overrightarrow{AB} est alors un vecteur directeur de \left(d\right).
  • Soit on donne une droite parallèle à la droite \left(d\right) de vecteur directeur connu. Un vecteur directeur de \left(d\right) est égal au vecteur directeur de la droite parallèle.

Une équation de \left(d\right) est 2x-y+1=0.

Donc un vecteur directeur de \left(d\right) est \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}.

Une équation de \left(d'\right) est -x+\dfrac{1}{2}y+3=0.

Donc un vecteur directeur de \left(d'\right) est \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2}\cr\cr -1 \end{pmatrix}.

Etape 3

Etudier la colinéarité des vecteurs

Les vecteurs directeurs obtenus sont \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix}.

On détermine si les vecteurs sont colinéaires :

  • Si xy'-x'y=0, alors les vecteurs directeurs sont colinéaires.
  • Si xy'-x'y \neq0, alors les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.

Déterminons si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

On calcule :

1\times \left(-1\right) - 2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) =-1+1=0

\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

Etape 4

Conclure

On conclut : soit les droites sont parallèles, soit elles sont sécantes.

Si les droites sont parallèles, on vérifie si elles ont un point commun. On détermine un point de \left(d\right) et on regarde s'il appartient à \left(d'\right).

  • Si c'est le cas les droites sont confondues.
  • Sinon, elles sont strictement parallèles.

Ainsi, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Déterminons si elles sont confondues.

On pose x=0 dans l'expression de \left(d\right) :

2\times 0-y+1=0

y=1

Le point A\left(0;1\right) appartient donc à la droite \left(d\right).

On détermine si le point A appartient à \left(d'\right) en remplaçant x et y par les coordonnées de A dans l'équation donnée de \left(d'\right) :

-0+\dfrac{1}{2}\times1+3=\dfrac{7}{2} \neq 0

Le point A n'appartient pas donc à \left(d'\right).

Les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont donc strictement parallèles.

Questions fréquentes

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